Si $G/Z(G)$ es abeliano y $\{e\}\ne H\triangleleft G$, entonces el $H\cap Z(G)\ne\{e\}$

Question

Estoy un poco familiarizado con el conmutador subgrupos, por lo que no estoy seguro sobre el último par de líneas de esta prueba.

Deje $G$ ser un grupo tal que $G/Z(G)$ es Abelian, y deje $\{e\}\ne H\triangleleft G.$ Muestran que $H\cap Z(G)\ne\{e\}.$

Considerar el colector subgrupo $G'<G.$ cualquier $N\triangleleft G$ $G/N$ Abelian, tenemos que $G'\subset N.$, con Lo que desde $Z(G)$ es un subgrupo normal de $G$ y el cociente grupo Abelian por supuesto, $G'\subset Z(G).$ Ahora vamos a $g\in G$$h\in H$. Entonces $$ghg^{-1}h^{-1} = (ghg^{-1})h^{-1}\in H\cap G'.$$ Now if $de gei^{-1}h^{-1}\ne e$ for some $g,h,$ then we're done. But if $gei^{-1}h^{-1} = e$ for all $g\in G,\; h\H$, then this implies $H\subconjunto de Z(G)$.

Answer 1

Vamos a empezar con un

Lema Deje $H \unlhd G$$H \cap G'=1$. A continuación,$H \subseteq Z(G)$.
La prueba Deje $h \in H$ $g \in G$ ser arbitraria. A continuación, el colector $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh=(g^{-1}h^{-1}g)h \in H$, ya que el $H$ es normal. Pero también se $[g,h] \in G'$, por lo tanto, ya $H$ $G'$ se cruzan trivialmente llegamos $[g,h]=1$ $H$ debe ser central.

Supongamos ahora que $G/Z(G)$ es abelian. Esto es equivalente a $G'\subseteq Z(G)$. Si $1 \neq H \unlhd G$, luego tenemos dos casos: o $H \cap G' = 1$ y, luego, por el Lema que hemos $H \subseteq Z(G)$, así que sin duda $H \cap Z(G)=H \neq 1$. Si $H \cap G' \neq 1$, entonces a partir de la $G'\subseteq Z(G)$, obtenemos $1 \neq H \cap G'\subseteq H \cap Z(G)$ y también estamos hecho.

Tenga en cuenta que $G/Z(G)$ abelian implica que $G$ es nilpotent. En general, si $G$ es nilpotent y $1 \neq H \unlhd G$,$H \cap Z(G) \neq 1$.

Answer 2

El colector de un subgrupo $G'$ $G$ se define como $$G' = \{ghg^{-1}h^{-1}: g, h \in G\}.$$ The commutator of two elements measures how non-commutative that they are. For instance, if $g$ and $h$ commute then their commutator $gei^{-1}h^{-1}$ es trivial.

Así, para hablar de la prueba. (Vamos a verificar cada una de las reclamaciones.)

Si $N$ es normal y $G/N$ es abelian, a continuación,$G' < N$. Esto es cierto ya que si $a, b \in G$ $aNbN = bNaN$ $a^{-1}bNaN = NbN = NNb$ por lo tanto, dejar los elementos en los dos primeros a $N$'s de ser la identidad da que no es $x \in N$ tal que $a^{-1}ba = xb$, lo $N \ni x = a^{-1}bab^{-1}$. Sin embargo, $a$ $b$ fueron arbitrarias por sustitución de $a$ $a^{-1}$ vemos que $N$ contiene todos los conmutadores.

$(ghg^{-1})h^{-1} \in H\cap G' \subset H \cap Z(G)$ desde $H$ es normal y que todo el producto es un colector.

Si $ghg^{-1}h^{-1} \neq e$ para algunos la elección de $h \in H$ $g\in G$ entonces tenemos que $H \cap Z(G) \neq \{e\}$.

Si $ghg^{-1}h^{-1} = e$ todos los $h \in H$$g\in G$, esto significa que $H$ conmutan con todos los elementos de a$G$$H \subset Z(G)$, lo $H \cap Z(G) \neq \{e\}$ desde $H$ no es trivial.