Mediana de las estadísticas de pedidos

Question

Hace poco aprendí que para hallar el pdf de la mediana de digamos $X_1,X_2, X_3$ primero se halla la Cdf mediante $$ P(M \le x) =P(\text{at least 2 are}\, \le x) = P( \text{exactly 2 are}\, \le x) + P(\text{all 3 are} \le x)$$ donde $M$ indica la mediana. Finalmente se diferencia para obtener el pdf requerido.

Mis preguntas:

1. ¿Cómo se encuentra la cdf/pdf de un número arbitrario de estadísticos de orden?
2. ¿Existe una fórmula generalizada?

Gracias

Edita:

Supongamos que el $X_i$ son iid.

Answer 1

Supongamos (capital) $F$ es la función de distribución de probabilidad acumulada de cualquiera de las tres observaciones $X_1,X_2,X_3$ de modo que $F(x) = \Pr(X_1\le x) = \Pr(X_2\le x) = \Pr(X_3\le x)$ . Entonces $$ \Pr(\text{exactly two}\le x) $$ es la probabilidad de obtener exactamente dos aciertos en tres ensayos independientes con probabilidad $F(x)$ de éxito en cada prueba. En otras palabras, la distribución de probabilidad del número de observaciones que son $\le x$ es una distribución binomial con $n=3$ y $p=F(x)$ . Así que tenemos $$ \Pr(\text{exactly two}\le x) = {3\choose 2} F(x)^2(1-F(x))^1. $$

En general $$ \Pr(\text{exactly $ k $ of $ n $ observations are}\le x) = {n\choose k} F(x)^k(1-F(x))^{n-k}. $$