Que $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ tal que $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Probar que $$ (a + b + c) (a/b, b y c + c/a) \geq 9. $$
Mi intento de Traté de AM-GM en la expresión simétrica por lo que el $a+b+c \geq 3$, pero encontré $a+b+c \leq 3$.
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Concrete Donkey
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155
De la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $$\sum\limits_{cyc} \frac{a}{b}\ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$ $
Por lo tanto, basta para probar: $\displaystyle \frac{(a+b+c)^3}{ab+bc+ca} \ge 9$
Cuadratura de ambos lados y usando $a^2+b^2+c^2 = 3$,
$$\begin{align} & (a+b+c)^6 \ge 81(ab+bc+ca)^2 = 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 \end{align}$$
que sigue de la desigualdad de Am-Gm con términos de $3$, $$a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,ab+bc+ca$ $
como,
$\displaystyle \frac{(a+b+c)^6}{27} = \left(\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{3}\right)^3 \ge (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$
Roger Hoover
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56
La forma homogénea de la desigualdad es %#% $ #% que equivale a:
$$(a+b+c)^2(ca^2+ab^2+bc^2)^2\geq 27(a^2+b^2+c^2)\,a^2 b^2 c^2 $ $ que puede demostrarse mediante la combinación de desigualdad de Schur con desigualdad de Muirhead.
timdev
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25910
Considere el siguiente problema de optimización $$\min_{x,y,z}\{(x+y+z)(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\}$$ sujeto a $$x^2+y^2+z^2=3$$ Todo lo que tenemos que mostrar es que $$\min_{x,y,z}\{(x+y+z)(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\}=9$$ bajo la condición de $$x^2+y^2+z^2=3$$ Configurar el Lagrangiano $$\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=(x+y+z)(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+\lambda(3-x^2-y^2-z^2)$$ donde $\lambda>0$. Las condiciones de primer orden respecto de a $x,y,z$ de rendimiento $$\mathcal{L}_x=0\Leftrightarrow(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(x+y+z)(\frac{1}{y}-\frac{z}{x^2})=2\lambda x$$ $$\mathcal{L}_y=0\Leftrightarrow(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(x+y+z)(\frac{1}{z}-\frac{x}{y^2})=2\lambda y$$ $$\mathcal{L}_z=0\Leftrightarrow(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(x+y+z)(\frac{1}{x}-\frac{y}{z^2})=2\lambda z$$ Aprovechando la simetría del sistema simultáneo de ecuaciones anteriores se obtiene $$x^*=y^*=z^*$$ donde $(x^*,y^*,z^*)$ es la solución para el problema de minimización. Invocar aquí la restricción obtenemos $$(x^*)^2+(y^*)^2+(z^*)^2=9\Rightarrow 3(x^*)^2=9\Rightarrow x^*=1$$ ($x^*=1$,ya que el $x^*\geq0$). Por lo $(x^*,y^*,z^*)=(1,1,1)$ minimiza la función objetivo, es decir, $$\min_{x,y,z}\{(x+y+z)(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\}=(x^*+y^*+z^*)(\frac{x^*}{y^*}+\frac{y^*}{z^*}+\frac{z^*}{x^*})=(1+1+1)(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1})=9$$
Michael Rozenberg
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677
Vamos a demostrar que $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\geq\frac{3}{2}\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)$.
Vamos $\frac{a}{b}=x$, $\frac{b}{c}=y$ y $\frac{c}{a}=z$.
Por lo tanto, tenemos que demostrar que el $2(x+y+z)^2\geq3(x+y+z+xy+xz+yz)$,
donde $x>0$, $y>0$ y $z>0$ tal que $xyz=1$
o $\sum\limits_{cyc}(2x^2-3x+xy)\geq0$ o $\sum\limits_{cyc}\frac{(2x+1)(x-1)^2}{x}\geq0$, lo cual es evidente.
Por lo tanto, queda por demostrar que $(a+b+c)^2\sum\limits_{cyc}(a^2b+a^2c)\geq18abc(a^2+b^2+c^2)$.
Vamos $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ y $abc=w^3$.
Por lo tanto, tenemos que demostrar que el $9u^2(9uv^2-3w^3)\geq18w^3(9u^2-6v^2)$ o $(7u^2-4v^2)w^3\leq3u^3v^2$.
Pero $w^3$ obtiene un valor máximo, cuando dos números de $\{a,b,c\}$ son iguales.
Desde la última desigualdad es homogénea, siendo para comprobar un caso único: $b=c=1$,
que da $(a-1)^2(a^2-2a+4)\geq0$. Hecho!
