¿Es correcto el razonamiento/álgebra para mi prueba? (prueba de teoría de la afinación musical)

Question

Esto no es para una clase, me preguntaba si yo sería capaz de trabajar a cabo una prueba para algo como esto a mí mismo por diversión, y quería comprobar que mis métodos son correctos. Básicamente, lo que estoy tratando de demostrar, en términos de teoría de la música es: Demostrar que es imposible clasificar un número de pura 5ths en la entonación justa, y para terminar con una octava perfectamente afinada, o varias de las octavas. O de manera más formal...

Deje $ (\frac{3}{2})^m = (\frac{1}{2})^n $, donde n y m son enteros positivos. Muestran que no existen enteros positivos m y n tales que la ecuación es verdadera.

Suponga que la ecuación es verdadera:

$ (\frac{3}{2})^m = (\frac{1}{2})^n $

$ (\frac{3}{2})^m = \frac{1}{2^n} $

$ (\frac{3}{2})^m = 2^{-n} $

$ \log{_2}[(\frac{3}{2})^m] = -n $

$ n = -\log{_2}[(\frac{3}{2})^m] $

$ n = -m\log{_2}[\frac{3}{2}] $

$ n \not\in Z^{+} $

$ \therefore $ por la contradicción, no existe n, m $\in Z^{+}$ tal que $ (\frac{3}{2})^m = (\frac{1}{2})^n $.

Apenas para la referencia, mostrando una forma más elegante de la prueba de la misma cosa, también se aprecia (tal vez desde el uso de otras demostrado teoremas de las matemáticas).

Answer 1

Continuando con la idea de @sanath:

El segundo paso afirma que $3^m=2^{m-n}$. Aquí, $2$ y $3$ son números primos, así que esta ecuación entonces implica que existe un número natural con dos factorizaciones distintas de primera. Sin embargo, esto contradice de teorema Fundamental de la aritmética. Por lo tanto, $3^m = 2^{m-n}$ no tiene ningún soluciones para $m,n\in\mathbb{N}$.

Answer 2

Primero de todo, como Miqueas escribió en un comentario, usted debe buscar en $(\frac32)^m=2^n$. Su versión, con $(\frac12)^n$ en el lado derecho, equivaldría a tratar de ir hacia abajo un número entero ($n$) de octavas por ir hasta toda una serie de grandes quintas. Por supuesto, eso es imposible, debido a la discrepancia entre abajo y arriba. Esa discrepancia se muestra como el signo de la diferencia en su última ecuación en la que el $m$ $n$ no puede ser ambos positivos debido a $-\log_2(\frac32)$ es negativo.

Por lo tanto, si la contradicción en la final de su prueba es sólo a causa de la señal de problema, entonces surge a partir de la abajo-vs-problema, y todo lo que he probado es el que se va por octavas nunca coincidirá pasando por grandes quintas.

Por otro lado, si la contradicción que tenía en mente se basa en el $\log_2(\frac32)$ ser irracional, entonces tengo que estar de acuerdo con Micah que esta irracionalidad, aunque verdadero, necesita de una prueba, que sería esencialmente la prueba dada por kike0001.

Answer 3

La prueba es correcta, suponiendo que usted ya sabe que $\log_2(3/2)$ es un número irracional. Sospecho, sin embargo, que en la práctica termina siendo circular. La forma más fácil de mostrar que los logaritmos de los números racionales son irracionales es mostrar que las ecuaciones como el original no tiene solución!

Debido a este problema, creo que el número teórico de las pruebas como este son superiores.

Answer 4

Sí, la prueba es correcta.

Aquí está otra prueba: $$ \left(\dfrac{3}{2}\right) ^ m = \left (\dfrac {1} {2} \right) ^ n\\ \implies 3 ^ m = 2 ^ {m-n} \\ \implies m-n = m\log_23\not\in\mathbb {Z} ^ + el \text {como $m$ es un entero}. \\ \implies n = m (1-\log_23) \not\in\mathbb {Z} ^ + el \text {como $m$ es un entero}. \\ \implies \{n,m\}\not\subset\mathbb{Z}^+$$ contradicción!