¿Cuál es la posibilidad de que al menos un dígito no aparecerá en un "código" de 20 dígitos?

Question

Un "código" se compone de 20 dígitos (números del 0 al 9), y queremos elegir un número al azar. ¿Cuál es la posibilidad de que al menos un dígito no se muestra en el código?

Lo que yo hice:
Tenemos $10^{20}$ posibilidades. Ahora, quiero escoger los 9 números de las diez, y elegir de forma aleatoria, por lo que la posibilidad es:

$\frac{10\cdot9^{20}}{10^{20}} = \frac{9^{20}}{10^{19}}$

Pero cuando me pongo esto en la calculadora me sale $1.25\dots$ pensé que tal vez tengo una más precisa de la calculadora, pero incluso calculadoras que he encontrado en google devuelve la misma respuesta.

La posibilidad no debería estar por encima de 1. ¿Cuál es el problema aquí?

Answer 1

Para cualquier dado dígitos, la probabilidad de que el "código" no contiene el dígito de hecho es $(9/10)^{20}$. Pero calcular la probabilidad de que cualquiera de los diez dígitos que faltan requiere el principio de inclusión/exclusión.

• Agregar $10×(9/10)^{20}$, como lo hizo, por la probabilidad de que uno de los dígitos que faltan.
• Restar $45×(8/10)^{20}$ para la probabilidad de que dos dígitos que faltan. 45 es el número de formas de elegir los dos dígitos a omitir.
• Agregar $120×(7/10)^{20}$ para la probabilidad de que tres dígitos que faltan. De nuevo, 120 es el número de maneras para omitir los tres dígitos.
• Continuar hasta que la adición de $10×(1/10)^{20}$ para la probabilidad de que nueve dígitos que faltan.

Al final, la respuesta correcta es $0.785262\dots$