¿Por qué es necesariamente $d\theta/dx$ $\cos \theta$ en este problema de física? ¿O equivoco?

Question

Estoy preguntando esto en las matemáticas de intercambio de la pila ya que parece que la parte clave de este problema de física que le estoy pidiendo ayuda es más relacionada con la geometría de que la física de la misma.

Estoy de forma independiente yendo a través de la Física para Científicos e Ingenieros, 3ª Edición, por Raymond A. Serway, en el Capítulo 3, el problema de los 80, la cual, parafraseando el problema, va como esto:

Un boy scout lazos de una cuerda a su comida, tira de la cuerda a través de una sucursal, y empieza a caminar a una velocidad constante $v_0$ y la comida empieza a ir hacia arriba. La comida empieza en el nivel de sus manos y a una altura $h$ por encima que es la rama. La distancia que él está lejos de la vertical de la cuerda en cualquier momento dado es $x$. (Aquí está mi dibujo de la situación a continuación, el libro tiene un aficionado de la imagen de un hombre de verdad y un árbol, pero he reducido a lo esencial).

El problema va a decir:

(a) Demostrar que la comida de velocidad de la $v$ cuando la posición del niño es $x$ es igual a:

$$v = v_0 \cdot x \cdot (h^2 + x^2)^{-1/2}.$$

(b) Demostrar que la comida de la aceleración cuando la posición del niño es $x$ es igual a:

$$a = v_0^2 \cdot h^2 \cdot (h^2 + x^2)^{-3/2}.$$

Me puede resolver la parte (a) dibujando un triángulo hacia abajo por el chico de las manos como se muestra y la comprensión de que la comida de la velocidad se ajusta alrededor de la rama en la dirección a lo largo de $l$, e $v_0$ es entonces la hipotenusa, por lo $v$$v_0 \sin \theta$, $\sin \theta$ es equivalente a $x / (h^2 + x^2)^{1/2}$, lo $v$$v_0 \cdot x \cdot (h^2 + x^2)^{-1/2}$, que es la respuesta.

También puedo ver que es el tiempo derivado de la $v$. Me imagino usando la regla de la cadena para decir que $a = dv/dt = dv/d \theta \cdot d \theta /dx \cdot dx/dt$. Puedo ver que $dv/d \theta = v_0 \cos \theta $ y puedo ver que $dx/dt$ es la constante de $v_0$ que el niño se está moviendo. Puedo mirar la respuesta se supone que debo llegar a la parte (b) y lo que tengo hasta ahora y ver que $d \theta /dx$ se supone que ser $\cos \theta$, pero eso es lo que yo no puedo ver como natuarally siguiente.

Alguien me puede ayudar a visualizar o analíticamente demostrar por qué en esta configuración, $d \theta /dx$ es necesariamente $\cos \theta$?

Answer 1

Nota (de la gran triángulo) que $\tan\theta=\frac{x}{h}$. La diferenciación de ambos lados con respecto a $x$, y el uso de la Regla de la Cadena, obtenemos $$\sec^2\theta\frac{d\theta}{dx}=\frac{1}{h},$$ y por lo tanto $$\frac{d\theta}{dx}=\frac{1}{h}\cos^2\theta.$$ No es la $\cos\theta$ que esperaba, sino una especie de cerca.

Nota: El ángulo es una cosa muy útil desde el punto de vista de la intuición física. Sin embargo, vamos a $y$ ser la distancia de la comida de la rama, y deje $k$ ser el total de la longitud de la cuerda. Entonces la altura de la comida es $h-y$, por lo que si sabemos todo acerca de $y$, sabemos todo acerca de la altura de la comida.

Tenga en cuenta que en la gran triángulo, la hipotenusa es $k-y$. Se sigue por el Teorema de Pitágoras que $$(k-y)^2=h^2+x^2.$$ Diferenciando con respecto a $t$, obtenemos $$-2(k-y)\frac{dy}{dt}=2x\frac{dx}{dt}.\tag{$1$}$$ Pero $k-y=(h^2+x^2)^{1/2}$$\frac{dx}{dt}=v_0$, por lo que tenemos $$-\frac{dy}{dt}=v_0x(h^2+x^2)^{-1/2}.$$ Para encontrar la velocidad a la que el alimento está en aumento, basta con cambiar el signo.

Para la aceleración, diferenciando ambos lados de $(1)$ con respecto al $t$ funciona muy bien. Desde $x$ cambia a una tasa constante, la derivada de $x\frac{dx}{dt}$ con respecto al $t$ es sólo $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$.

Answer 2

Ahora es tan pequeña que podemos aproximar la longitud de arco de a $d\theta$$dx\cos \theta$ $ $$r.d\theta=dx \cos \theta$tan $$\frac{d\theta}{dx}=\frac{\cos \theta}{r}$$where $r=\sqrt{x^2+h^2}$