Podemos permutar los coeficientes de un polinomio, por lo que NO tiene raíces reales?

Question

Deje $P(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\ldots+a_{0}$ ser incluso un grado del polinomio con coeficientes positivos.

Es posible permutar los coeficientes de $P(x)$, de modo que el polinomio resultante será NO tiene raíces reales.

Answer 1

Sí: poner el $n+1$ más grande de los coeficientes en la que incluso los poderes de $x$, y el $n$ más pequeño de los coeficientes de las potencias impares de $x$.

Claramente el polinomio tendrá ningún positivo raíces independientemente de la permutación. El cambio de $x$$-x$, es suficiente para mostrar: si $\min\{a_{2k}\} \ge \max\{a_{2k+1}\}$, entonces cuando $x>0$, $$a_{2n}x^{2n} - a_{2n-1}x^{2n-1} + \cdots + a_2x^2 -a_1x+a_0$$ siempre es positivo.

• Si $x\ge1$, esto se desprende de $$(a_{2n}x^{2n} - a_{2n-1}x^{2n-1}) + \cdots + (a_2x^2 -a_1x) +a_0 \ge 0 + \cdots + 0 + a_0 > 0.$$
• Si $0<x\le1$, esto se desprende de $$\begin{multline*} (a_0 - a_1x) + (a_2x^2-a_3x^3) + \cdots + (a_{2n-2}x^{2n-2}-a_{2n-1}x^{2n-1}) + a_{2n}x^{2n} \\ \ge 0 + \cdots + 0 + a_{2n}x^{2n} > 0. \end{multline*}$$