La clásica prueba de la primitiva elemento teorema ( $\mathbb Q$ ) implica que el resultado más fuerte que si $\alpha,\beta$ son dos números algebraicos sobre$\mathbb Q$, ${\mathbb Q}(\alpha+t\beta)={\mathbb Q}(\alpha,\beta)$ para todos, pero un número finito de $t\in{\mathbb Q}$.
Por el contrario, dado un número finito de $T\subseteq {\mathbb Q}$, hay un par de $(\alpha,\beta)$ tal que ${\mathbb Q}(\alpha+t\beta) \neq {\mathbb Q}(\alpha,\beta)$ por cada $t\in T~?$
Estoy especialmente interesado en el caso de $T=\lbrace 0,1,2,\ldots, n\rbrace$ para $n\in{\mathbb N}$.
Mis pensamientos : es fácil ver que todas las ${\mathbb Q}(\alpha+t\beta)$ $t\in T$ deben ser distintos subcampos de ${\mathbb Q}(\alpha,\beta)$, por lo que la extensión ${\mathbb Q}(\alpha,\beta)/{\mathbb Q}$ tiene al menos $|T|$ intermediario campos. Su grado $d$ por lo tanto debe satisfacer $2^{d!} \geq |T|$ (debido a la descomposición de campo tiene un grado $g$ tal que $g\leq d!$, y en la mayoría de las $2^{g}$ subgrupos (de hecho, en la mayoría de las $2^{g}$ subconjuntos) de que el grupo de Galois).
