Prueba $(2n+1) + (2n+3) + \cdots + (4n-1) = 3n^{2}$ para todos los enteros positivos $n$

Question

Demostrar $(2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + \cdots + (4n-1) = 3n^{2}$ para todos enteros positivos $n$.

Así que la solución aportada evita la inducción y hace uso del hecho de que $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^{2}$ sin embargo no entiendo el primer paso: $(2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + \cdots + (4n-1) = (1 + 3 + 5 + \cdots + (4n-1)) -(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1))$. Una vez que se ha establecido que puedo seguir con el resto, pero yo estaba esperando que alguien me podría ayudar a entender por qué $(1 + 3 + 5 + \cdots + (4n-1))$ que ya se ve como menos de la LHS puede hacerse igual a la LHS, restando un número positivo.

Además, quería probar la igualdad en el uso de la inducción, pero tenía problemas con eso. Creo que estoy arrojado por el último término de $4n-1$. Incluso el primer caso de $n=1$ no está totalmente claro para mí: es debido a $2(1)+1 = 3(1)^{2}$ o es porque $4(1)-1 = 3(1)^{2}$?

De cualquier manera, mi enfoque era para reemplazar todas las $n$ sobre el lado izquierdo con $n+1$, lo que resultó en: $$(2(n+1)+1) + (2(n+1)+3)+ \cdots + (4(n+1)-1)$$ and I am not sure what the second to last term in the sequence would be... I tried simplifying anyway $$(2n+3) + (2n+5) + \cdots + (4n+3)$$ and I this point I thought I could subtract $(2n+1)$ from both sides of the induction assumption resulting in $(2n+3) + (2n+5) + \cdots ? = 3n^{2} - (2n+1) - (4n-1)$ substituting this yields: $$3n^{2} - 2n - 1 - 4n + 1 + 4n + 3 = 3n^{2} + 6n + 3 - 8n + 1 = 3(n+1)^{2} - 8n + 1$$ but I guess I don't want the $-8n + 1$... I also tried substituting $3n^{2} - (2n+1)$, sin que en último término se restan, pero que no funcionó. Si alguien me puede ayudar a entender cómo hacer esto correctamente, lo agradecería muchísimo. Gracias!

Answer 1

El primer elemento, $(2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + \cdots + (4n-1)$

$= (1 + 3 + 5 + \cdots + (4n-1)) -(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1))$

viene porque sólo está sumando y restando el mismo conjunto de términos en el lado derecho.

Su caso base para la inducción tiene un término en el lado izquierdo, que escribiría $2*1+1=3*1^2$ para la inducción, asumir $(2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + \cdots + (4n-1)=3n^2$ y luego extenderlo a $n+1$: $(2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + \cdots + (4n-1) + (4n+1)+(4n+3)-(2n+1)$

$=3n^2+4n+1+4n+3-(2n+1)=3n^2+6n+1=3(n+1)^2$

Answer 2

Su problema inicial parece estar viendo $$1 + 3 + 5 + \cdots + (4n-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) + (2n+1) + (2n+3) + \cdots + (4n-1) así la LHS es $(2n)^2 = 4n^2$ y la izquierda de la mitad de los RHS es $n^2$, dejando $3n^2$ para la derecha la mitad del lado derecho.

Para la inducción, que necesita para empezar con un término donde $(2 \times 1 +1) = 3 \times 1^2$ y luego le $(2n+1) + (2n+3) + \cdots + (4n-1) = 3n^2$ que usted puede probar $(2n+3) + \cdots + (4n-1) + (4n+1) + (4n+3) = 3(n+1)^2$, es decir, que $3n^2 - (2n+1) + (4n+1) + (4n+3) = 3(n+1)^2$, que no es difícil.

Answer 3

$\rm\ S(n) := \sum_{k=0}^{n-1}\ 2k+1 = 1 + 3 +\:\cdots\:+ 2n-1\ = n^2\ $ por lo es claro que su suma es simplemente $\rm\ S(2\:n) - S(n) = 4n^2 - n^2 = 3n^2\:.\:$ por lo tanto necesita solamente demostrar que el primer sumatorio es válido. Sugerencia: el paso inductivo es equivalente al hecho de que $\rm\ S(n+1) - S(n) = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1\:.\:$

Answer 4

Gauss da esta solución:

$$(4n-1+2n+1)*\frac{(\frac{(4n-1-(2n+1))}{2}+1)}{2}$$

Answer 5

La solución sencilla usando $1+3+\ldots+(2n-1)=n^2$ es como sigue:

$(2n+1)+(2n+3)+\ldots+(4n-1)=2n\cdot n+ (1+3+\ldots+(2n-1))=3n^2$

El hecho de que $1+3+\ldots+(2n-1)=n^2$ es cierto es una inducción simple: asumir es verdad $n$. Entonces obtenemos para $n+1$ $1+3+\ldots+(2n-1)+(2(n+1)-1)=n^2+2n+1=(n+1)^2$