¿Cuando $\sqrt{wz}=\sqrt{w}\sqrt{z}$?

Question

Existe una única función de $\sqrt{*} : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que para todos los $r \in [0,\infty)$ $\theta \in (-\pi,\pi]$ sostiene que $$\sqrt{r\exp(i\theta)}=\sqrt{r}\exp(i\theta/2),$$

donde $\sqrt{r}$ denota el habitual director de la raíz cuadrada de un número real $r$.

Permite tomar esto como nuestra definición de la directora de la raíz cuadrada de un complejo número. Por lo tanto $i=\sqrt{-1}.$

Ahora. Sabemos que, para todos los reales positivos $w$$z$, sostiene que $\sqrt{wz}=\sqrt{w}\sqrt{z}$. También sabemos que esto no funciona para ciertos compleja $w$$z$. De lo contrario, estaríamos pueden argumentar de la siguiente manera:

$$-1 = i\cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1}=1$$

Mi pregunta: para que una compleja $w$ $z$ es que $\sqrt{wz}=\sqrt{w}\sqrt{z}$?

Answer 1

La solución a esta pregunta requiere de la definición de la desenrollado número. Compruebe el papel de La corrección de número por Corless y Jeffrey, SIGSAM Boletín 116, pp 28-35.

El desenrollado número es definido por $$\ln(e^z) = z + 2 \pi i \mathcal{K}(z).$$ Obviamente, $\mathcal{K}(z) \in \mathbb{Z}$.

Para tu pregunta, Teorema 5 es el más relevante, junto con el punto 1, en la segunda lista en la sección 5.2:

1. $\sqrt{zw}$. Por el teorema (5c) nos sería de esperar que esto se expanda a $$\sqrt{z}\sqrt{w}e^{\pi i \mathcal{K}(\ln z + \ln w)}$$ y esto no sería simplificar aún más a menos que el asumir sistema sabían que $-\pi < \arg z + \arg w \le \pi$, en cuyo caso $\mathcal{K}$ simplificaría a $0$.

Lea el artículo para una penetración más profunda.