Teorema de Parseval para las transformadas de Mellin

Question

Un caso particular del teorema de Parseval para las transformadas de Fourier dice que si $f$ es integrable al cuadrado en $\mathbb{R}$ entonces

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^{2} \ dt = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f} (\omega)|^{2} d \ \omega .$$

Recuerdo haber encontrado un teorema similar para las transformadas de Mellin que dice que bajo ciertas condiciones,

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{|f(x)|^{2}}{x} \ dx = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(it)|^{2} \ d t$$

donde $F(s)$ es la transformada de Mellin de $f(t)$ .

Utilizando este teorema podemos evaluar una integral como $ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \Gamma(a+it) \Gamma(a-it) \ dt$ con bastante facilidad.

Pero no encuentro mucha información sobre este teorema en Internet.

¿Es esto de alguna manera un corolario del otro teorema?

Answer 1

Si sustituimos $x = e^u$ y escribir $g(u) = f(e^u)$ Por un lado, tenemos

$$\int_0^\infty \lvert f(x)\rvert^2\, \frac{dx}{x} = \int_{-\infty}^\infty \lvert f(e^u)\rvert^2\,du = \int_{-\infty}^\infty \lvert g(u)\rvert^2\,du.$$

Por otro lado,

$$\begin{align} F(it) &= \int_0^\infty x^{-it} f(x)\,\frac{dx}{x}\\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-iut} f(e^u)\,du\\ &= \int_{-\infty}^\infty g(u)e^{-iut}\,du\\ &= \sqrt{2\pi}\cdot \mathscr{F}[g](t), \end{align}$$

para el $\mathscr{F}[h](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int h(u)e^{-iu\omega}\,du$ variante de la transformada de Fourier. Como esa variante es una isometría de $L^2(\mathbb{R})$ (que es el teorema de Parseval), juntos obtenemos

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \lvert F(it)\rvert^2\,dt = \lVert \mathscr{F}[g]\rVert_{L^2}^2 = \lVert g\rVert_{L^2}^2 = \int_0^\infty \lvert f(x)\rvert^2\,\frac{dx}{x}$$

bajo la hipótesis de que $g$ es integrable al cuadrado. Por lo tanto

¿Es esto de alguna manera un corolario del otro teorema?

se puede responder con un sí.