Convergencia del producto de la suma y suma de recíprocos implica igualdad.

Question

Un amigo afirma que esta es la verdadera (y también las reclamaciones que tenga una prueba).

Se da la secuencia de $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ $a_n \gt 0$ $p_n$ se define como:

$$ p_n = (a_1 + a_2 + \dots + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right)$$

Si $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{p_n}{n^2}$$ exists (and is finite), then $a_i = a_j$ for any $i,j$.

Esto parece bastante sorprendente. Es esto realmente cierto?

Sé que podemos mostrar que el límite es de $\ge 1$, mediante el uso de la media aritmética y la media geométrica de la desigualdad para mostrar que $p_n \ge n^2$, pero que parece conducir a ninguna parte.

(Amigo dice que la fuente es algún foro había leído en alguna parte, y no recuerda).

Answer 1

Supongamos que $a_1=2$ y $1=a_2=a_3=\cdots$. Entonces $p_n=(n+1)(n-\frac 12)$, por lo que no tiene $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{p_n}{n^2}=1$, pero la conclusión deseada.

Answer 2

Asumir que $a_n \to \alpha$ $\alpha \neq 0$. Entonces siempre tenemos

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{n^2} = 1. $$

Esto se desprende el siguiente teorema Abelian:

Teorema. Si $x_n \to x$, entonces el $\frac{1}{n}(x_1 + \cdots x_n) \to x$.

Esto demuestra que $(a_n)$ no tiene que ser eventualmente constante, ya que hay muchas secuencias convergentes que no es finalmente constante.