Pasar de la suma a la integral

Question

Estoy preguntando específicamente sobre una ecuación en Introducción a la teoría cuántica de campos por Peskin y Schroeder. Ejemplo de la página 374:

$$\mathrm{Tr} \log (\partial^2+m^2) = \sum_k \log(-k^2+m^2)$$ $$= (VT)\cdot\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\log(-k^2+m^2),\tag{11.71}$$ El factor $VT$ es el volumen cuatridimensional de la integral funcional.

¿Por qué este $VT$ aparecen en la ecuación $(11.71)$ ?

Answer 1

Sólo se puede hablar de una suma discreta sobre $k^\mu$ vectores si todas las direcciones del espaciotiempo son compactas. En ese caso, $k^\mu$ se cuantifica.

Si el espaciotiempo es una caja periódica con periodicidades $L_x,L_y,L_z,L_t$ entonces $V=L_x L_y L_z$ y $T=L_t$ . El componente $k^\mu$ en dicho espaciotiempo es un múltiplo de $2\pi \hbar / L_\mu$ (He añadido $\hbar$ para permitir cualquier unidad pero por favor establezca $\hbar=1$ ) porque $\exp(ik\cdot x / \hbar)$ tiene que ser de un solo valor y es de un solo valor si el exponente es un múltiplo de $2\pi i$ .

Así que el total de 4 volúmenes en el $k$ -que tiene un valor permitido de $k^\mu$ - un término de la suma - es $(2\pi)^4 /(L_x L_y L_z L_t) = (2\pi)^4 / (VT)$ . Esto significa que si uno integra sobre $\int d^4 k$ hay que dividir la integral por este 4 volumen, es decir, multiplicarla por $(VT)/(2\pi)^4$ para obtener la suma - para garantizar que cada caja de 4 dimensiones contribuya $1$ como cuando usamos la suma. En el límite $L_\mu \to \infty$ la integral dividida por el 4 volumen de la célula y la suma se convierten en lo mismo - a través de la definición habitual de la integral de Riemann.

Tengo dudas de que el capítulo 11 sea el primero en el que se utilice o discuta este diccionario entre las sumas discretas y las integrales.