Álgebras booleanas de las proyecciones

Question

Supongamos $X$ es un espacio de Banach con forma incondicional $(e_n)$. Entonces, uno puede fácilmente definir un álgebra Booleana de proyecciones en $\mathcal{L}(E)$ que es isomorfo al conjunto de $\mathbb{N}$ (por un álgebra de boole de las proyecciones entiendo una familia de limitada idempotents en un espacio de Banach que es un álgebra de boole en virtud de las operaciones de $P\wedge Q = PQ$$P\vee Q = P+Q-PQ$, cero-elemento igual a cero el operador y la unidad de igualdad de la identidad en $X$).

¿Cuáles son condiciones suficientes para que un espacio de Banach para completar el álgebra de boole de las proyecciones? Hay un separable espacio de Banach $X$ sin incondicional base con algunos álgebra de boole de las proyecciones de isomorfo al poder establecido de $\mathbb{N}$?

Answer 1

Bastante trivial condición suficiente para la existencia de una completa álgebra de boole de las proyecciones es que el espacio de $X$ (hasta el isomorfismo) de la forma $(\sum_{n\in\mathbb{N}} \oplus E_n)_{\ell_p}$, $1\leq p &lt \infty$, o $(\sum_{n\in\mathbb{N}} \oplus E_n)_{c_0}$ (donde los espacios $E_n$ son, por supuesto, distinto de cero).

Así, un ejemplo de un espacio con la propiedad solicitada en el OP de la segunda pregunta es un espacio de la forma $c_0(E)$ o $\ell_p(E)$, $1\leq p &lt \infty$, donde $E$ es una de Banach separable espacio que no incrustar en cualquier espacio de Banach tener forma incondicional; ejemplos de tales espacios de $E$ incluyen:

• El James espacio de $J$.

• El James árbol de espacio de $JT$.

• $L_1[0,1]$.

• Deje $K$ ser un incontable compacto espacio métrico (por ejemplo, $[0,1]$), o igual a la de un compacto ordinal intervalo de $[0,\alpha]$ donde $\alpha \geq \omega^\omega$ $[0,\alpha]$ está equipada con su orden natural de la topología. Entonces uno puede tomar $E=C(K)$.

• La base universal de espacio $U$ de Pelczynski, que tiene (y) la propiedad de que cada espacio de Banach con una base es isomorfo a un subespacio complementado de $U$. En particular, $U$ no incrusta en un espacio con forma incondicional, ya que éste contiene (complementa) copias de $L_1[0,1]$ e las $C(K)$ espacios mencionados anteriormente, debido a que estos espacios, todos tienen una base).

Con la excepción de la de James espacio, todos los ejemplos que se $E$ dada anteriormente tienen la propiedad de que $E$ es isomorfo a $c_0(E)$ o $\ell_p(E)$ algunos $1\leq p &lt \infty$ (en el caso de Pelczynski del espacio, en realidad tenemos que $U$ es isomorfo a todos los espacios de $c_0(U)$ y $\ell_p(U)$, $1\leq p &lt \infty$); así, con la excepción de la de James espacio, podemos tomar cualquiera de los espacios de $E$ da como ejemplos de arriba como una respuesta a la segunda pregunta.

Por último, quisiera mencionar que también se podría considerar, de una manera similar, directa sumas con respecto a cualquier incondicional.