Por favor, explique la desigualdad $|x^{p}-y^{p}| \leq |x-y|^p$

Question

Supongamos que $x \geq 0$ , $y \geq 0$ y $0<p<1$ . ¿Por qué es cierta la siguiente desigualdad?

$|x^{p}-y^{p}| \leq |x-y|^p$

Answer 1

Supongamos w.lo.g $x>y$ . Entonces la afirmación se convierte en $x^p - y^p \leq (x-y)^p$ . Desde $y > 0$ dividir todo por $y^p$ . Así que tenemos que mostrar $(\frac{x}{y})^p - 1 \leq (\frac{x}{y}-1)^p$ siempre que $x > y >0$ y $0<p<1$ . Sea $t = \frac{x}{y}$ . Así que tenemos que mostrar $t^p - 1 \leq (t-1)^p$ siempre que $t > 1$ y $0<p<1$ .

Esto es un problema de cálculo.

Sea $f(t) = (t-1)^p - (t^p -1) $ donde $0<p<1$ .

Demuestre que la función $f(t)$ aumenta para $t \geq 1$ y cuando $0 < p < 1$ .

Así que $f(t) \geq f(1)$ y $f(1) = 0$ . Así, obtenemos el resultado deseado.

$\textbf{EDIT:}$ Mostrar $f(t)$ aumenta para $t \geq 1$ y cuando $0 < p < 1$ .

Tenemos que demostrar $0 < f'(t) = p (t-1)^{p-1} - pt^{p-1}$ y puesto que $p>0$ todo lo que tenemos que demostrar es que $(t-1)^{p-1}>t^{p-1}$ , $\forall t > 1$ y $0<p<1$ .

Desde $0<p<1$ tenemos que demostrar $t^{1-p} > (t-1)^{1-p}$ lo que es cierto ya que $p<1$ y $t>t-1>0$ .

Answer 2

Esto se deduce de la desigualdad más general \begin {ecuación}(1) \qquad\qquad |x+y|^p \le |x|^p+|y|^p \qquad\qquad\text {(para $x,y\in\mathbb{C}$ y $0\lt p\le1$ )} \end {Ecuación} En efecto, si sustituimos $x$ por $x-y$ en (1) obtenemos $$|x|^p\le |x-y|^p+|y|^p$$ que implican $$|x|^p-|y|^p\le |x-y|^p$$ Para demostrar (1), primero hay que tener en cuenta $$|x+y|^p\le(|x|+|y|)^p$$ Por lo tanto, basta con demostrar (1) para $x,y\ge0$ en cuyo caso podemos aplicar el argumento de Sivaram en la respuesta anterior.