El árbol de la propiedad para los no-débilmente compacto $\kappa$

Question

En mi anterior pregunta, Débilmente compacto cardenales, me estaba preguntando acerca débilmente compacto de cardenales y definiciones equivalentes a la básica, que es $\kappa \to (\kappa)^2_2$.

Uno de los cuales era que $\kappa$ es inaccesible y tiene el árbol de la propiedad (es decir, si cualquier árbol de cardinalidad $\kappa$ para el cual cada nivel es de cardinalidad $<\kappa$, entonces tiene una sucursal (es decir, un máximo de cadena) de cardinalidad $\kappa$).

Puedo entender la propiedad en sí y lo que significa. Sin embargo, desde la $\aleph_1$ o $\aleph_\omega$ claramente no son débilmente compacto cardenales, no debería ser un árbol que se contradice con esta propiedad.

¿Cómo construir este tipo de árbol?

Answer 1

Lo que se busca es el concepto de Aronszajn árbol. Usted puede leer acerca de las construcciones de Aronszajn árboles en cualquier nivel de postgrado de teoría de conjuntos de texto, y mientras tanto, la página de la Wikipedia se incluye un resumen de los hechos básicos:

• König el lema de los estados que $\aleph_0$-Aronszajn árboles no existen.

• La existencia de Aronszajn árboles ($=\aleph_1$-Aronszajn árboles) fue probado por Nachman Aronszajn, e implica que el análogo de König del lema no se sostiene por innumerables árboles.

• La existencia de $\aleph_2$-Aronszajn árboles es indecidible (suponiendo un gran cardenal axioma): más precisamente, la hipótesis continua implica la existencia de una $\aleph_2$-Aronszajn árbol, y Mitchell y Plata demostró que es consistente (en relación a la existencia de un débil compacto cardenal) que no $\aleph_2$-Aronszajn árboles de existir.

• Jensen demostrado que $V=L$ implica que hay un κ-Aronszajn árbol (de hecho, un κ-Suslin árbol) para cada infinita sucesor, el cardenal κ.

• Cummings & Foreman (1998) mostraron que (el uso de una gran cardenal axioma) que es coherente que no $\aleph_n$-Aronszajn árboles que existen para cualquier finito n es distinto de 1.

• Si κ es débilmente compacto entonces no κ-Aronszajn árboles de existir. Por el contrario si κ es inaccesible y no κ-Aronszajn árboles existe, κ es débilmente compacto.

Por último, permítanme señalar una pequeña inexactitud en su pregunta. La equivalencia es de que $\kappa$ es débilmente compacto iff es inaccesible y tiene el árbol de la propiedad. No es correcto colocar la inaccesibilidad parte, como usted lo hizo, ya que es coherente que $\aleph_2$ tiene el árbol de la propiedad.

Answer 2

Algunos de los resultados que complementa Joel respuesta:

• Sela demostrado (alrededor de 1995) que si $\lambda$ ha cofinality $\omega$ y es el supremum de bien compacta cardenales, a continuación, $\lambda^+$ tiene el árbol de la propiedad. Ver

Menachem Magidor, y Saharon Sela. El árbol de la propiedad en los sucesores de singular cardenales, Archivo de Matemáticas de la Lógica, 35 (5-6), (1996), 385-404. MR1420265 (97 undecies:03093).

• Neeman demostrado que, suponiendo la existencia de $\omega$ supercompact cardenales, se puede forzar a un modelo donde el árbol posee propiedad en todo el $\aleph_n$ ($2\le n<\omega$) y en $\aleph_{\omega+1}$. Ver

Itay Neeman. El árbol de la propiedad hasta el $\aleph_{\omega+1}$, preprint.

Neeman el resultado de la mejora de los resultados anteriores, tanto en términos de los cardenales con el árbol de la propiedad, y en la consistencia de la fuerza: Magidor y Sela había obtenido el árbol de la propiedad en $\aleph_{\omega+1}$ a partir de un enorme cardenal con $\omega$ supercompact cardenales arriba. Como se mencionó en Joel respuesta, Cummings y el Capataz había obtenido el árbol de la propiedad de la $\aleph_n$ ($2\le n<\omega$), también de $\omega$ supercompact cardenales. Por el momento, Neeman es el mejor resultado en términos de intervalos de regular los cardenales con el árbol de la propiedad. Al menos en $\mathsf{ZFC}$.

• Arthur Apter demostrado (alrededor de 2009) que la siguiente es consistente, en relación a una clase adecuada de supercompact cardenales: $\mathsf{ZF} + \mathsf{DC} +$ Cada sucesor, el cardenal es regular y tiene el árbol de la propiedad, mientras que el límite de cardenal es singular. Ver estas diapositivas, y

Arthur W. Apter. Un comentario sobre el árbol de la propiedad en un sin elección contexto, Arq. De matemáticas. La lógica, 50 (5-6), (2011), 585-590. MR2805298 (2012d:03115).

La conclusión de Apter es resultado implica la determinación de $L(\mathbb R)$, y más.

• El límite superior en la consistencia de la fuerza por períodos sucesivos de cardenales con el árbol de la propiedad es un supercompact cardenal con débilmente compacto cardenal por encima de ella. Alrededor de 1983, Abraham forzado, a partir de estos supuestos, que $2^{\aleph_0}=\aleph_2$, y tanto $\aleph_2$ $\aleph_3$ tiene el árbol de la propiedad. Todos los resultados sobre los sucesivos cardenales con el árbol de la propiedad construir sobre Abraham argumento. Ver

Uri Abraham. Aronszajn árboles en $\aleph_2$ $\aleph_3$ , Ann. Pure Appl. La lógica, 24 (3), (1983), 213-230. MR0717829 (85d:03100).

• La mejor conocida límite inferior es debido a Foreman, Magidor, y Schindler. Ellos muestran que si todos $\aleph_n$ ($2\le n<\omega$) tiene el árbol de la propiedad, y $\aleph_\omega$ es fuerte límite, $\mathsf{PD}$ mantiene. Ver

Mateo Capataz, Menachem Magidor, y Ralf Schindler. La consistencia de la fuerza de sucesivas cardenales con el árbol de la propiedad, J. la Lógica Simbólica, 66 (4),(2001), 1837-1847. MR1877026 (2003m:03083).

Este resultado es frustrante, en el sentido de que nos esperan dos sucesivas cardenales con el árbol de la propiedad debería darnos mucho más en la consistencia de la fuerza de este, más allá de $\mathsf{AD}^{L(\mathbb R)}$, y es probable que más allá del alcance actual del descriptivo interior del modelo de la teoría. Aún así, esto sería excesivamente cortos de los mejores de límites superiores, que los expertos esperan que están mucho más cerca de la verdad.