Generalización de la ecuación funcional de Cauchy

Question

Sabemos que si $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f$ cumple algunas condiciones "razonables", entonces $f$ es lineal.

He estado considerando la siguiente extensión: considerar los reales bajo alguna operación de grupo desconocida $\oplus$ que es isomorfo a los reales bajo la adición estándar, es decir $f(x\oplus y)=f(x)+f(y)$ . ¿En qué condiciones debemos concluir que $f(x)=cx$ donde $f$ ¿es el isomorfismo?

Creo que sobre los racionales podríamos usar el mismo argumento que para Cauchy, pero no estoy seguro sobre los reales.

Actualización : En otra pregunta Joy da un ejemplo en el que $f:(\mathbb{R},\oplus)\to (\mathbb{R},+)$ con $f$ continua todavía $f(x)\not=cx$ . Así que la respuesta a esta generalización no es la misma que la respuesta a la Cauchy normal.

Answer 1

Si concluye $f(x)=cx$ entonces $c(x\oplus y)=f(x\oplus y)=f(x)+f(y)=cx+cy=c(x+y)$ Es decir, $\oplus=+$ . Ahora, para un automatismo de $f$ de $(\mathbb{R},+)$ para concluir que $f(x)=cx$ entonces $f$ deben ser continuos, o de forma equivalente, $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$ .