Expansión asintótica integral de $\int_0^{\infty} t^{3/4}e^{-x(t^2+2t^4)}dt$ $x \to \infty$

Question

Todavía tengo un poco problemas aplicando el método de Laplace para encontrar el líder comportamiento asintótico de una integral. ¿Podría alguien ayudarme a entender esto? Por qué con un ejemplo, como:

$$\int_0^{\infty} t^{3/4}e^{-x(t^2+2t^4)}dt$$ for $ x > 0$, as $x\rightarrow\infty$.

Answer 1

La idea básica es que la contribución máxima de la integral viene de un barrio de $t=0$, y cerca de allí tenemos $t^2+2t^4 \approx t^2$. Este problema es particularmente bueno porque podemos hacerlo todo de forma explícita. Voy a hacer el cálculo en dos pasos (dos cambios de variables) para ilustrar lo que está pasando.

Empezar con el cambio de las variables de $t^2+2t^4 = s^2$ donde $s \geq 0$. Esto le da

$$ t=\frac{1}{2}\sqrt{-1+\sqrt{1+8^2}}, $$

de modo que la integral se convierte en

$$ \int_0^{\infty} t^{3/4}e^{-x(t^2+2t^4)}\,dt = \int_0^\infty s^{3/4} f(s) e^{-xs^2}\,ds, $$

donde

$$ f(s) = \frac{2^{1/4}s^{1/4}}{\sqrt{1+8^2}\left(-1+\sqrt{1+8^2}\right)^{1/8}} = 1 - \frac{15}{4}s^2 + \frac{713}{32}s^4 + \cdots. $$

Ahora podemos hacer el segundo cambio de las variables de $s^2 = r$ poner la integral en un formulario donde podemos aplicar directamente Watson lema. De hecho, esto da

$$ \int_0^\infty s^{3/4} f(s) e^{-xs^2}\,ds = \int_0^\infty r^{-1/8} g(r) e^{-xr}\,dr, $$

donde

$$ g(r) = \frac{1}{2}f\left(\sqrt{r}\right) = \frac{1}{2} - \frac{15}{8}r + \frac{713}{64}r^2 + \cdots. $$

Finalmente

$$ \begin{align*} \int_0^\infty r^{-1/8} g(r) e^{-xr}\,dr &\approx \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0) \Gamma(n+7/8)}{n! x^{n+7/8}} \\ &= \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{7}{8}\right) x^{-7/8} - \frac{15}{8}\Gamma\left(\frac{15}{8}\right)x^{-15/8} + O\left(x^{-23/8}\right) \end{align*} $$

como $x \to \infty$, por Watson lema.

Answer 2

En resumen, sólo tienes que buscar el mínimo de la función $2t^4+t^2$, lo que le da la ubicación de la mayor contribución a la integral. El mínimo de $2t^4+t^2$ se alcanza en el punto en el $t=0$. Por lo tanto, tenemos

$$ \int_0^{\infty} t^{3/4}e^{-x(t^2+2t^4)}dt \sim \int_0^{\infty} t^{3/4}e^{-xt^2}dt = \frac{\Gamma \left( {\frac {7}{8}} \right)}{2 {x}^{ {\frac {7}{8}} }\, }.$$

Para evaluar la última integral utilizar el cambio de las variables de $ u=xt^2 $ a transformar la integral de la función gamma.

Nota: Si en lugar de la función de $t^2+2t^4$, usted tiene $g(t)$ y alcanza su mínimo en el punto de $0$, entonces utilice la serie de Taylor para obtener el líder plazo.