¿Cuál es la relación entre el dual de Hodge de los vectores p y el espacio dual de un espacio vectorial ordinario?

Question

Entiendo lo que es el dual de Hodge, pero no consigo entender el espacio dual del espacio vectorial. Parecen muy similares, casi iguales, pero quizás no estén relacionados.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ la hoja $a \wedge b$ te da un subespacio que es como un plano, y el dual es aproximadamente la normal al plano.

¿Existe un ejemplo igualmente sencillo para el espacio dual de un espacio vectorial, o hay una forma de describir el espacio vectorial dual en términos del dual de Hodge?

Answer 1

(Edición: He editado esta respuesta varias veces porque mi comprensión de la situación ha ido mejorando).

Siempre es provechoso entender este tipo de construcciones comprendiendo exactamente de qué información dependen. El dual de Hodge depende de una cantidad sorprendente de información: se necesita un espacio vectorial $V$ que está dotado tanto de un producto interno como de una orientación, que es esencialmente una elección de las bases de $V$ son "diestros". Así que vamos a ver qué podemos decir ignorando toda esta información primero.

Cualquier espacio vectorial abstracto $V$ de dimensión finita $n$ tiene poderes exteriores $\Lambda^2 V, \Lambda^3 V, ... \Lambda^n V$ , el último de los cuales es unidimensional. Los espacios vectoriales $\Lambda^k V$ y $\Lambda^{n-k} V$ siempre tienen la misma dimensión, por lo que nos gustaría poder definir algún tipo de mapa "canónico" entre ellos. ¿Qué podemos decir? Pues que siempre son duales: el producto cuña define un mapa bilineal natural $\Lambda^k V \times \Lambda^{n-k} V \to \Lambda^n V$ y como este último es unidimensional, esto significa (una vez que se ha demostrado la no degeneración) que los dos espacios vectoriales son de hecho duales.

Pero la dualidad no te da un mapa entre ellos. Cuando dos espacios vectoriales $V, W$ son duales, lo que significa que existe un mapa bilineal no degenerado $V \times W \to F$ (donde $F$ es el campo de tierra), todo lo que se obtiene es un isomorfismo $V \simeq W^{\ast}$ . Aquí se obtiene un isomorfismo $\Lambda^k V \simeq \Lambda^{n-k} V^{\ast}$ , una vez que haya especificado un isomorfismo $\Lambda^n V \simeq F$ . Esto equivale a elegir un vector distinguido en $\Lambda^n V$ , lo que no hay manera de hacer en general.

Así que la respuesta es introducir datos adicionales. Para identificar $\Lambda^{n-k} V^{\ast}$ con $\Lambda^{n-k} V$ necesitamos un producto interno. Un producto interno nos da dos vectores distinguidos en $\Lambda^n V$ como sigue: tome cualquier base ortonormal $b_1, ... b_n$ . Entonces, al unir las cuñas $b_i$ en cualquier orden, obtiene uno de los dos elementos de $\Lambda^n V$ , dependiendo de si la permutación correspondiente es par o impar. Pero sin ningún dato adicional, no hay forma de identificar uno de estos elementos con $1$ y uno de estos elementos con $-1$ .

El dato extra que hace esto es una orientación en $V$ , que te dice qué bases son "derechas" y cuáles son "izquierdas". Así que una base ortonormal orientada te da un elemento distinguido de $\Lambda^n V$ , lo que le da un isomorfismo distinguido $\Lambda^k V \simeq \Lambda^{n-k} V^{\ast}$ que se compone con el isomorfismo $\Lambda^{n-k} V^{\ast} \simeq \Lambda^{n-k} V$ es el dual de Hodge.

Uf.

Esto se explica en estas notas Acabo de encontrar en Google.

Answer 2

El concepto básico del dual de Hodge ha existido desde Grassmann -- es esencialmente el complemento de Grassmann. Los tratamientos del dual de Hodge que se pueden encontrar en la web suelen ser incompletos e inmotivados. Mis notas sobre los espacios vectoriales ofrecen un tratamiento más completo que la mayoría de lo que se puede encontrar en la web; basta con buscar en Google "Vector Spaces, Vector Algebras, and Vector Geometries". --Richard