Si $x+y+z=3k$ donde $x, y, z, k$ son enteros, demostrar que $x!y!z! \geq (k!)^3$

Question

Si $x+y+z=3k$ donde $x, y, z, k$ son enteros, demostrar que $x!y!z! \geq (k!)^3$ Bueno, yo era capaz de demostrar de esta forma intuitiva, pero lo que necesito es una rigurosa prueba matemática. Voy a explicar mi intuitiva prueba. Tomemos $L=x!y!z!$ a a $x=y=z=k$. Por lo tanto, $L=(k!)^3$. Ahora, para alcanzar cualquier otro caso, se tendría que multiplicar por un número mayor que $k$ y dividir por un número menor que $k$. Lo que en resumen significa que tendría que multiplicar por un número mayor que $1$. Esto implicaría que la magnitud sería mayor que $L$. Por lo tanto el uso de este algoritmo, todos los casos pueden ser obtenidos y todos ellos debe ser superior o igual a $L$. Por lo tanto, $L$ es el valor más bajo posible. Bueno, esto es fácil de explicar. El problema sería escribir como una adecuada prueba matemática.

Por favor me ayudan a lograr que...

Answer 1

Lema. Si $a,b$ son enteros con $0\le a<b$ $a!b!\le(a+1)!(b-1)!$ con igualdad de iff $b=a+1$.

Prueba. De hecho, $a!b! = a!(b-1)!\cdot b\stackrel{(*)}\ge a!(b-1)!\cdot(a+1)=(a+1)!(b-1)!$ y la igualdad en $(*)$ mantiene el fib $b=a+1$. $\square$

Fix $k\in\Bbb N$ y considerar $$ A:=\{\,x!y!z!\mid x,y,z\in \Bbb N_0, x+y+z=3k\,\}.$$ Como un conjunto finito, $A$ sin duda tiene un elemento maximal. Pick $x,y,z\in \Bbb N_0$$x+y+z=3k$$x!y!z!=\max A$. Wlog. $x\le y\le z$. Suponga $x<z$. Entonces, por el lema $$(x+1)!y!(z-1)! \ge x!y!z!=\max A$$ y, por tanto,$(x+1)!y!(z-1)! = x!y!z!$, que - de nuevo según el lema de medios $z=x+1$. Si $x\ge k$, nos encontramos con $3k=x+y+z\ge k+k+(k+1)$, la contradicción; y si $x<k$, nos encontramos con $3k=x+y+z\le (k-1)+k+k$, de nuevo una contradicción. Llegamos a la conclusión de que $x=z$ y, a continuación,$x=y=z=k$.

Answer 2

Mucho más es cierto.

Si $(x_i)$ es un conjunto de $n$ reales con $x_i \ge 1$, entonces $\left(\frac1{n}\sum x_i\right)! \le (\prod x_i!)^{1/n} $, o $\left(\frac1{n}\sum x_i\right)!^n \le \prod x_i! $.

Esto es debido a que la función factorial es log-convexa.

Aquí está la prueba.

Jensen de la desigualdad de los estados que si $f$ es una función convexa ($f''(x) \ge 0$) entonces $f(\frac1{n}\sum x_i) \le \frac1{n}\sum f(x_i) $.

La función Gamma y la función factorial son log-convexa - sus registros son convexas. Ver aquí para una típica discusión:

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.456.1448&rep=rep1&type=pdf

Dejar $f(x) =\log(x!) $, $\log((\frac1{n}\sum x_i)!) \le \frac1{n}\sum \log(x_i!) $. Exponentiating, $(\frac1{n}\sum x_i)! \le (\prod x_i!)^{1/n} $.

Answer 3

$x = k + \alpha,y = k + \beta, z = k+\gamma$

$\alpha + \beta + \gamma = 0$

Sin pérdida de generalidad podemos insistir en que $\alpha \leq \beta \leq \gamma $

Supongamos, $\beta < 0$.

$\alpha +\beta = - \gamma$

$x!y!z! = (k!)^3 \dfrac{(k+1)(k+2)...(k+\alpha)(k+\alpha+1)...(k+\gamma)}{(k-1)(k-2)...(k-\alpha)(k-1)...(k-\beta)}\geq (k!)^3$

En esa fracción de que hay muchos factores en el numerador como en el denomoninator. Cada factor en el numerador es > k, cada uno en el denominador es < k. Podemos par de ellos de todos modos queremos y la proporción será mayor que 1.

y, si $\beta > 0$

$x!y!z! = (k!)^3 \dfrac{(k+1)(k+2)...(k+\beta)(k+1)...(k+\gamma)}{(k-1)(k-2)...(k-\alpha)(k-\alpha-1)...(k-\alpha)}\geq (k!)^3$

y si $\beta = 0$

$x!y!z! = (k!)^3 \dfrac{(k+1)(k+2)...(k+\gamma)}{(k-1)(k-2)...(k-\alpha)}\geq (k!)^3$