El "sofisticado" solución:
$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_nx^n$$
Aquí la suma se interpreta como la integral con respecto a $\sum_{n=1}^\infty \delta_n$ de la función
$$
F(n,x) = a_n x^n
$$
Por lo tanto si podemos aplicar el teorema de derivación:
$$
f'(x) = \frac d{dx} \sum_{n=1}^\infty F(n,x) \color{rojo}=
\sum_{n=1}^\infty \frac d{dx}F(n,x) = \sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
$$
Ahora, para la justificación de la roja '=' signo:
usted tiene que comprobar que, por ejemplo, en $K=\left[-|x|,|x| \right]$ (en un subconjunto compacto de $(-R,R)$ contiene $x$):
$$
\sum_{n=1}^\infty \sup_{x\in K} \left|\frac d{dx}F(n,x) \right| < \infty
$$
En este caso, la suma es:
$$
= \sum_{n=1}^\infty na_n |x|^{n-1}
$$
y esta suma es finita como el radio de $
\sum na_nx^{n-1}
$
también es $R$.
Uno de los "elementales" solución:
Deje $x\in (-R,R)$. La convergencia de la serie es uniforme en $[0,x]$ (debido a $R$ es el radio de convergencia de la serie, y $[-x,x]$ es un subconjunto compacto de $(-R,R)$). Por lo tanto:
$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \int_0^x na_n t^{n-1} dt
= \int_0^x \sum_{n=1}^\infty na_n t^{n-1} dt
$$
y, a continuación,$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}$.
