Los desplazamientos Skew-simétrica Nilpotent Matrices de 4x4

Question

Supongamos $A$ $B$ son cero, los desplazamientos, el sesgo de simetría, nilpotent matrices en $M_4(k)$, $k$ un campo (char $k\ne 2$). Debe $A=\lambda B$ algunos $\lambda\in k$? Me han demostrado que esto es cierto para $3\times 3$ matrices, y creo que también debe ser true para $4\times 4$ matrices.

Gracias de antemano a cualquiera que esté dispuesto a ayudarme con esto bastante seco pregunta.

Answer 1

Esto no es cierto. Considere la posibilidad de $$ A = \left[ \begin {array}{cccc} 0&0&1&-i\\ 0&0&i&1\\ -1&-i&0&0\\ i&-1&0&0 \end {array} \right],\ B = \left[ \begin {array}{cccc} 0&1&-i&0\\ -1&0&0&i\\ i&0&0&1\\ 0&-i&-1&0\end {array} \right]$$ donde $i$ es una raíz cuadrada de $-1$.

EDIT: O, un poco más en general, con el mismo $A$, $$ B = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & c & -b \\ -b & -c & 0 & a \\ -c & b & -a & 0 \end{array}\right]$$ donde $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ y $a$, $b$, $c$ no son todos los $0$.

EDIT: También, trate de $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & -a & b & c \\ a & 0 & -c & b \\ -b & c & 0 & a \\ -c & -b & -a & 0 \end{array}\right],\ B = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & c & -b \\ -b & -c & 0 & a \\ -c & b & -a & 0 \end{array}\right]$$ donde de nuevo $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ y $a$, $b$, $c$ no son todos los $0$. En particular, obtenemos contraejemplos sobre cada campo de carácter distinto de cero (y cada campo de Stufe $\le 2$).

Básicamente he encontrado estos ejemplos, empezando con un adecuado $A$ y una forma general para $B$ e (Arce) la resolución de las ecuaciones $A B - B A = 0$$B^2 = 0$.

Answer 2

Si las matrices son reales y skew-simétrica (es decir,$A^T=-A$), entonces ellos son normales, por lo tanto diagonalizable. Si están además nilpotent, ambas deben ser cero.

Así que, esto es en real de las matrices de cualquier tamaño, pero parece más bien anticlimactic :/