La prueba de que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$

Question

Estoy buscando una prueba de que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, utilizando sólo el de Arquímedes Propiedad de $\mathbb{R}$ y propiedades básicas de ordenada campos.

Un paso afirma que para cualquier $n \in \mathbb{N}$, $x \in \mathbb{R}$, hay un número entero $m$ tal que $m - 1 \leq nx < m$. ¿Por qué es esto cierto? (Idealmente, este hecho puede ser mostrado usando sólo el de Arquímedes propiedad de $\mathbb{R}$ y propiedades básicas de ordenada campos...)

Answer 1

Supongamos primero que $x>0$, por lo que el $nx>0$. Por el Arquímedes de la propiedad hay un $k\in\mathbb{N}$ tal que $k>nx$; deje $m$ ser el menos $k$. Claramente $m-1\le nx<m$. Si $x=0$, solo tome $m=1$. Por último, si $x<0$,$-nx>0$, por lo que la primera parte del argumento no es un número entero $k$ tal que $k-1\le -nx<k$, y, por tanto,$-k<nx\le 1-k$. Si $nx\ne 1-k$, ya está hecho: simplemente tome $m=1-k$. Si $nx=1-k$, tome $m=2-k$.

Answer 2

Usted menciona en los comentarios de que su versión de la propiedad es de Arquímedes

Para todos los $x,y\in\mathbb{R}$ $x\gt 0$ existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $nx\gt y$.

Deje $z\in\mathbb{R}$. Supongamos primero que $z\gt 0$. Ahora, usando la propiedad de Arquímedes con $y=z$$x=1$, se deduce que existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $n\gt z$. Por lo tanto, el conjunto de $$\{ n\in\mathbb{N}\mid n\gt z\}$$ es no vacío. Por el principio de orden, hay por lo menos un número natural $n_0$ tal que $n_0\gt z$. A continuación,$n_0\gt z$; si $n_0=1$, $0\lt z\lt 1$ $m=1$ obras. Si $n_0\gt 1$,$n_0-1\in\mathbb{N}$, y minimality de $n_0$ significa que $n_0-1\leq z$, por Lo tanto, $n_0-1\leq z\lt n_0$ $m=n_0$ funciona de nuevo.

Si $z=0$, tome $m=1$.

Si $z\lt 0$, luego deje $w=-z$. Entonces existe, por el caso anterior, un número entero no negativo $k$ tal que $k-1\leq w \lt k$. Por lo tanto, $-k\lt z\leq 1-k$. Si $z\lt 1-k$, $m=1-k$ hace el truco. Si $z=1-k$,$1-k\leq z\lt 2-k$, lo $m=2-k$ obras.

Answer 3

Si $\mathbb{Q}$ no es denso en $\mathbb{R}$, entonces hay dos miembros de la $x,y\in\mathbb{R}$ de manera tal que ningún miembro de $\mathbb{Q}$ está entre ellos. Yo reclamo que la distancia $\varepsilon=|x-y|$ $x$ $y$ es un infinitesimal. Por el Arquímedes de la propiedad, esto implica $\varepsilon=0$.

Si $$\underbrace{\varepsilon+\cdots+\varepsilon}_{n\text {}} > 1$$ a continuación,$\varepsilon>1/n$, por lo que algunos número racional de la forma $k/n$ entre $x$$y$.