Prueba que $\mathbb N $ es finito

Question

Obviamente, esto es una falsa prueba. Se basa en la Baya de la paradoja.

Suponga que $\mathbb{N}$ es infinito. Ya que hay sólo un número finito de palabras en el idioma inglés, hay sólo un número finito de números que puede ser descrito de forma inequívoca en menos de 15 palabras. Deje $n$ ser el número más pequeño que no se puede.

A continuación, $n$ puede ser descrito como "el número más pequeño que puede ser descrito de forma inequívoca en menos de 15 palabras". Contradicción.

Yo no sé nada de la lógica matemática, pero mirando en un par de libros me ha dicho que el problema radica en la definición de $n$ := "número más pequeño que no puede ser descrito de forma inequívoca en menos de 15 palabras". Si esto no es una definición válida, entonces ¿qué es exactamente una definición válida?

Answer 1

El problema es que usted está utilizando el concepto de describability en sus descripciones, y por lo tanto, la definición es auto-referencial y paradójico. Es como si yo traté de definir: $$f(n) = \begin{cases}1 &\text{if }f(n)\text{ is even} \\ 2 &\text{if }f(n)\text{ is odd} \end{casos}$$

Esto es manifiestamente absurdo definición, y el número que proponen a definir es el sinsentido de la misma manera: se definen la interpretación de una cadena implícitamente en términos de las interpretaciones de las cadenas, y en una manera que contradice su propia definición.

Es posible, por supuesto, para el uso de auto-referencial definiciones en las matemáticas, pero lo que usted necesita hacer algún trabajo extra para asegurarse de que su definición es completa y no contradictorias. Para una explicación más completa de la recursividad, y cuando lo hace o no funciona, usted puede estar interesado en esta respuesta.

Answer 2

Esencialmente lo que su argumento muestra aquí es que "describe de forma inequívoca en menos de $N$ palabras" no es en sí misma una descripción inequívoca, podemos ver claramente la ambigüedad surgir en la forma de la paradoja. Esto debilita la paradoja, porque ahora la descripción en sí no es uno de los que cuantificar.

Por supuesto que es fácil acusar de lenguaje natural de las frases de ser ambiguo, pero el mismo problema lleva más de si tratamos de formalizar el argumento. Por ejemplo, podríamos preguntar por el menor número natural $n$ de tal manera que durante todo el primer fin de fórmula $\phi(x)$ contiene menos de $20,000$ símbolos en el lenguaje de la aritmética básica, $\forall x.(\phi(x)\leftrightarrow x=\bar n)$ es falso en $\mathbb N$.

La pared luego dimos es esta: aunque podemos representar las fórmulas de $\phi(x)$ a sí mismos dentro de la aritmética utilizando los números de Gödel, no hay aritmética fórmula que expresa la propiedad de ser el número de Gödel de una verdadera fórmula. Por lo que el número de pedido en el párrafo anterior es, de hecho, no se describen por cualquier fórmula aritmética.

Podemos definir la aritmética a la verdad, si permitimos que las fórmulas de un lenguaje más fuerte, como la teoría de conjuntos. Pero eso todavía no producir una paradoja, porque el lenguaje de la teoría de conjuntos no pueden expresar conjunto de la teoría de la verdad.

Answer 3

En realidad, el argumento no dice nada acerca de $\mathbf N$. Usted sólo está demostrando que no hay ningún número que no se puede describir sin ambigüedades en menos de 15 palabras: es la contradicción entre el supuesto de que hay un menor $n$ que no puede y demostrando que puede.