Generadores de Simétrica y la Alternancia de Grupo

Question

Considerar la simétrica y la alternancia de los grupos de $S_n$ y $A_n$ ($n>2$).

1. No arbitraria $2$-ciclo y un arbitrario $n$-ciclo de trabajo en $S_n$ genera $S_n$?

2. Si $n$ es impar, no un arbitrario $3$-ciclo y arbitraria $n$-ciclo de trabajo en $S_n$ genera el subgrupo $A_n$?

3. ¿Cuáles son las referencias que se dan varios "presentaciones" de $S_n$, $A_n$, y sobre el orden de los productos en $S_n$?.

Answer 1

Además de a @Alexander Respuesta, me pueden encontrar algunos puntos entre mis viejas notas. Espero que les ayude.

• Es de destacar que cada elemnt de $S_n$ es producto de distrito en ciclos y por lo $S_n$ puede ser generado por $(i,i+1),~~i=1,2,...,n-1$. De hecho, para cualquier $(i,j)\in S_n$: $$(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)...(j-1,j)(j-2,j-1)...(i+1,i+2)(i,i+1)$$ In other words, $$S_n=\langle(i,i+1)\mid~i=1,2,...,n-1\rangle$$ Además:

  $(i,i+1)^2=1,~i=1,2,...,n-1~~~~$ $~~~~ \Big((i,i+1)(i+1,i+2)\Big)^3=1,~i=1,2,...,n-2$

  y $~~(i,i+1)(j,j+1)=(j,j+1)(i,i+1),~~i,j=1,2,...,n-1,~|i-j|\ge2$

  así que si ponemos $$P_n=\langle x_1,x_2,...x_{n-1}\mid R,S,T\rangle$$ wherein $R=\{x_i^2\mid i=1,...,n-1\}$, $S=\{(x_i,x_{i+1})^3\mid i=1,...,n-1\}$ and $T=\{[x_i,x_j]\mid 1\leq i\leq j-1<n-1\}$ then by using the following bijection $S_n$ gets a presentation as above: $$\theta: P_n\to S_n\\ x_i\to(i,i+1)$$

• Hay un miró problema en Dixon del libro de la siguiente manera:

$^*2.63.$ Deje $x$ ser cualquier elemento no trivial de $S_n$. Si $n\neq 4$, entonces no existe $y\in S_n$ tal que $S_n=\langle x,y\rangle$.

Answer 2

1. Considere la posibilidad de $(12)$$(1324)$$S_4$.

2. Esto es cierto. Sugerencia: sabemos que $A_n$ es generado por el conjunto de $3$-ciclos en $S_n$. ¿Qué sucede cuando se conjuga un $3$-ciclo por un $n$-ciclo? ¿Por qué es importante que $n$ es impar? Como Derek Holt señala mi argumento contiene un descuido de error. Esta declaración es falsa también.

3. He aquí una referencia acerca de las presentaciones. Los pedidos de productos de permutaciones no son bien entendidos en el sentido general, por lo que yo sé. (Aunque tal vez alguien puede proporcionar mejorar en este punto.)