Prueba de la Norma de la Matriz (Matriz Inversa)

Question

Para cualquier norma de matriz inducida y matriz no singular A, demostrar que $$ \left\|A^{-1}\right\| (\left\|A\right\|)^{-1} $$ donde $$ \left\|A^{-1}\right\| = \max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|A^{-1}x\right\|\}\\ \left\|A\right\| = \max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|Ax\right\|\}. $$

No estoy seguro de cómo demostrar que: \begin{equation} \begin{split} \left\|A^{-1}\right\| (\left\|A\right\|)^{-1}\\ \text{o}\\ \max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|A^{-1}x\right\|\} (\max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|Ax\right\|\})^{-1} \end{split} \end{equation}

Answer 1

Usa $\lVert AB\rVert \leq \lVert A\rVert \lVert B\rVert$, ya que la norma inducida es en particular submultiplicativa. Por lo tanto $\lVert I_n\rVert \leq \lVert A\rVert \lVert A^{-1}\rVert$.

Answer 2

Supongamos que $|y|=1$ es tal que $|A|=|Ay|$. Entonces $x=Ay/|A|$ también tiene norma $1$, por lo que se sigue que $$ |A^{-1}|\geq |A^{-1}x|=|A^{-1}Ay/|A||=\frac{|y|}{|A|}=\frac{1}{|A|}=|A|^{-1}. $$

Answer 3

Prueba: $$ \left\|A^{-1}\right\| ≥ (\left\|A\right\|)^{-1} $$ donde $$ \left\|A^{-1}\right\| = \max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|A^{-1}x\right\|\}\\ \left\|A\right\| = \max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|Ax\right\|\}\\ \left\|A\right\|^{-1} = (\max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|Ax\right\|\})^{-1} = (\min_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|A^{-1}x\right\|\}) $$ y $$ \max_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|A^{-1}x\right\|\} ≥(\min_{\left\|x\right\|=1}\{\left\|A^{-1}x\right\|\}) $$ por lo tanto: $$ \left\|A^{-1}\right\| ≥ (\left\|A\right\|)^{-1} $$