Encontrar todas las funciones $f:\Bbb Q\rightarrow\Bbb Q$ satisfacción $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$ todos los $x,y\in\Bbb Q$
No sé cómo proceder, cualquier ayuda sería muy apreciada..
Respuesta
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Como se indicó en los comentarios, tenemos $x=y=0$ implica $2f(0)=4f(0)$$f(0)=0$. También debemos tener una función par ya con $x=0$ vemos que $f(y)+f(-y)=2f(y)$ lo que implica $f(y)=f(-y)$.
Ahora para $k\in\mathbb N$ podemos probar por inducción que $f(ky)=k^2f(y)$. Esto es claramente cierto para $k=1$. Entonces, si asumimos que esto representa para $k$ y proceder a $k+1$ vemos que $f(ky+y)+f(ky-y)=2k^2f(y)+2f(y)$ que reorganizan los rendimientos $f((k+1)y)=2k^2f(y)+2f(y)-(k-1)^2f(y)$. Ahora simplemente se puede comprobar que el $2k^2+2-(k-1)^2=(k+1)^2$ y hemos terminado con nuestra inductivo paso.
De esto se sigue que $$ un^2f(y)=f(ay)=f(b\frac ab y)=b^2f(\frac{a}{b}y) $$ así que en general nos ha $f(qy)=q^2f(y)$ todos los $q\in\mathbb Q$. Por lo tanto $f$ está totalmente determinado por un único valor de la función para un no-cero de entrada. Tomemos por ejemplo la $A=f(1)$ y luego se sigue que $f(x)=f(x\cdot 1)=x^2 f(1)=Ax^2$.
