Demostrando que $\varphi$ es un homomorphism

Question

Podría alguien por favor me ayude a contestar esta pregunta? Considere la función $\varphi:\mathbb{Z}_{30}^*\to\mathbb{Z}_{30}^*$ dado por la fórmula $\varphi(x)=x^2$. Demostrar que $\varphi$ es un homomorphism y calcular su núcleo.

Answer 1

Le sería de ayuda si en primer lugar, identificar los elementos en $\mathbb {Z}^*_{30}$, usted encontrará que hay no son demasiados. A continuación, usted debe saber la definición de homomorphism: Una función de $\varphi:G\to H$ donde $G,H$ son los grupos, es un homomorphism si para todas las $g_1,g_2\in G$ sostiene que $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$. Ahora, en el caso de que $G=H=\mathbb Z^*_{30}$ y $\varphi(x)=x^2$ todos los $x\in \mathbb Z^*_{30}$. Así, usted tiene una muy explícito fórmula para trabajar con y comprobar que efectivamente tiene.

Por ejemplo, tomar un par de valores de $x,y\in \mathbb Z^*_{30}$ y calcular el $\varphi(x)\varphi(y)$, y, a continuación, calcular $\varphi(xy)$. ¿Se obtiene el mismo resultado? (Usted debe!). Recuerde que la operación de multiplicación modulo $30$. Ahora, ya que no hay demasiados elementos para comprobar que usted puede simplemente revise todos ellos. Pero, que va a ser tedioso e ineficiente. Puede usted pensar en un argumento general para mostrar que la definición de igualdad de un homomorphism se cumple en este caso? (Sugerencia: comience el general de la prueba por "Let $x,y\in \mathbb Z^*_{30}$" y, a continuación, el estado de lo que la igualdad debe ser probada en términos de $\varphi$ y, a continuación, utilizar la fórmula para $\varphi$.)

Una vez hecho esto, para calcular el kernel que usted necesita saber cuál es la definición del núcleo. Estoy seguro de que usted puede encontrar en las notas que usar ese $ker(\varphi)=\{x\in \mathbb Z^*_{30} \mid \varphi(x)=e\}$. ¿Qué es $e$ en su caso? ¿Qué es $\varphi(x)$? Puedes encontrar todos los valores de $x\in \mathbb Z^*_{30}$ que satisfacer $\varphi(x)=e$? Que será el núcleo.

Answer 2

Que es un homomorphism (usando que el grupo multiplicativo es abelien):

$$ \varphi(xy) = (x-y)^2 = xyxy = x^2y^2 = \varphi(x)\varphi(y). $$

Encontrar el kernel: realmente solo quieren solucionar $x^2 = 1$. Intente con la mano para tomar el cuadrado de cada elemento en $\mathbb{Z}_{30}^*$. El núcleo es de todos los $x$ tal que $x^2 = 1$ (todo esto es el modulo $30$ recordar). Por ejemplo,$7^2 = 49 = 19 \neq 1$, lo $7$ no está en el kernel. Así que por supuesto, esto supone que se han encontrado todos los elementos en $\mathbb{Z}_{30}^{*}$.

Answer 3

Este es un conjunto finito, usted puede comprobar todos los casos pertinentes. A mano, incluso. O establecer las ecuaciones y comprobar que se ha cumplido. Cavar! Pruebe algunas ideas, a ver a dónde te llevan. Esta es la tarea, diseñada para que usted pueda aprender por (intentar) hacer.