Sé de Gram-Schmidt proceso, pero que no es lo que estoy buscando. Dados tres vectores en $\mathbb{R}^3$, $\{v_1,v_2,v_3\}$, quiero encontrar tres vectores $\{w_1,w_2,w_3\} \subset \mathbb{R}^3$ tal que $$(w_i,w_j) = \delta_{ij}, \quad \forall i,j\in\{1,2,3\},$$ $$D=\sum_{j=1}^3 \|v_j-w_j\|^2\ \mbox{is minimal.}$$ El inconveniente de la GS proceso, es que se asume un orden de preferencia en el 3-tupla y sólo cambia la longitud del primer vector, resultando en el cambio que se hace para el segundo y tercer demasiado grande y la distancia $D$ subóptima. Quiero deformar los tres en una "feria".
Respuesta
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Si la norma es la distancia Euclídea $2$-norma, el problema ha sido estudiado hasta la muerte. Sencillamente, desde la $\|x\|^2=x^Tx=\operatorname{trace}(xx^T)$, puede reescribir $D$ como una constante más $-2\operatorname{trace}(VW^T)$. Al realizar la descomposición de valor singular en $V$, la respuesta es trivial (pero un poco de cuidado tiene que ser tomado si $W$ no es simplemente una matriz ortogonal, sino una matriz de rotación).
