la existencia de la integral implica la existencia de un límite

Question

Supongamos que $f$ es una disminución continua de la función en $[0, \infty)$. Y la integral de $f(x)/\sqrt{x}$ $[0, \infty)$ existe.

Demostrar que $\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x}f(x)=0$.

De mi trabajo. Creo que se debe demostrar que el límite existe en primer lugar. Entonces todo sería muy fácil.

Supongamos que $\exists \epsilon>0$, $\forall N>0$, $\exists x_N>N$, s.t $\sqrt{x_N}f(x_N)>\epsilon$. Nos encontraríamos con que $f(x_N)/\sqrt{x_N}>\epsilon/x_N$.

Pero no puedo ir más allá. Alguno tiene alguna idea mejor?

Answer 1

Sugerencia. Desde $f$ es la disminución en $[0, \infty)$, $f(x)/\sqrt{x}$ es la disminución en $(0, \infty)$: si $0<x<y$ $$\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\geq \frac{f(y)} {\sqrt{x}}\geq\frac{f(y)}{\sqrt{y}}.$$ Por lo tanto, para $x>0$, $$0\leq f(x)\sqrt{x}=2\frac{f(x)}{\sqrt{x}} (x - x/2) \leq 2\int_{x/2}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} \, dt.$$ Ahora uso el hecho de que la integral de la $\int_{1}^{\infty}\frac{f(t)}{\sqrt{t}}\,dt$ es finito para mostrar que la r.h.s. va a cero, como se $x\to+\infty$.

P. S. tenga en cuenta que $f(x)$ es no negativo. Si $f(x_0)<0$ algunos $x_0>0$ $-f(x)\geq -f(x_0)> 0$ y $$-\int_{x_0}^{\infty}\frac{f(t)}{\sqrt{t}}\,dt\geq (-f(x_0))\int_{x_0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}\,dt=+\infty$$ lo que se contradice con el hecho de que $\int_{1}^{\infty}\frac{f(t)}{\sqrt{t}}\,dt$ es finito.