Expresar un número real como un producto

Question

Hola chicos, si tengo un número $x \in [1,2)$ es posible expresar el número como:

$$x = \prod_{j=0}^{+\infty} (1 + \alpha_j 2^{-j})$$

donde cada una de las $\alpha_j \in \left\{-1,0,1\right\}$? Si sí, ¿cómo podría ser probada? También suponiendo que dicha secuencia existe, es la secuencia de las $\left\{ \alpha_j \right\}_{j\in \mathbb{N}}$ único? Traté de comenzar con la representación

$$x = 1 + \sum_{j=1}^{+\infty} x_j 2^{-j}, x_j \in \left\{0,1\right\}$$ pero no me terminan con nada...

Answer 1

Dado $x_0\in[1,2]$, seleccione $α_1=0$ $x_0<\frac32$ $α_1=1$ más que el $x_1=(1+α_12^{-1})x_0\in[1,1+2^{-1}]$. Continuando por dividir el intervalo en la mitad nadie puede garantizar que $x_k\in [1, 1+2^{-k}]$.

De hecho, si $x_k\in [1, 1+2^{-k-1}]$, luego no hacer nada, es decir, establecer $α_{k+1}=0$. Otra cosa si $x_k\in[1+2^{-k-1}, 1+2^{-k}]$, $α_{k+1}=1$ $$ 1\le x_{k+1}=\frac{x_k}{1+2^{k-1}}\le \frac{1+2^{-k}} a{1+2^{k-1}}=1+\frac{2^{-k-1}}{1+2^{-k-1}}<1+2^{-k-1} $$ de modo que en ambos casos $x_{k+1}\in [1, 1+2^{-k-1}]$.

Ya que implica $$ \frac1{1+2^{-k}}x_0\le \prod_{j=1}^k(1+a_j2^{j})\le x_0 $$ uno consigue la convergencia de la infinita producto a la original $x_0$.