La evaluación de una integral definida.

Question

En mi curso de análisis me dieron este ejercicio:

Calcular el $\displaystyle{\int_0^1e^{x^2}dx}$.

Lo que yo hice fue escribir $\displaystyle{e^{x^2}=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n}}{n!}}$ y a la conclusión de que $\displaystyle{\int_0^1e^{x^2}dx=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!(2n+1)}}$. Yo todavía no sé si eso es correcto. Mi pregunta es:

Es mi respuesta correcta? En cualquier caso, conocemos el valor exacto de $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!(2n+1)}}$? Hay otra manera de calcular esta integral?

Answer 1

Sí, la serie es correcta.

$e^{x^2}$ no tiene primaria antiderivada. Su integral se puede escribir como $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erfi}(1)$, donde la función especial erfi se define como $$ \text{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{t^2}\ dt $$

Answer 2

La respuesta se expresa como una suma es correcta. La justificación de intercambiar integral y la suma se justifica por el hecho de que el poder de expansión de la serie de $e^{x^2}$ converge uniformemente en $[0,1]$.

Answer 3

Observar que $$\left(\int_0^1 e^{x^2}dx\right)\cdot\left(\int_0^1 e^{y^2}dy\right)=\int_0^1\int_0^1 e^{x^2+y^2}dxdy.$$ Ahora, si cambio a coordenadas polares, usted puede obtener una forma cerrada de respuesta. Después de encontrar esta respuesta, usted tendrá que tomar la raíz cuadrada desde el lado izquierdo de arriba es en realidad su integral al cuadrado.