Por favor, ayúdame…

Question

Por lo tanto, necesito a resolver uno de estos límites para mí, para que yo pueda ver cómo se hace, así que me pueden hacer el resto de mí.

Answer 1

OK, uno. Aquí viene: $$\frac{\sqrt{u}-\sqrt{v}}{\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}} = \frac{u, v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}\cdot\frac{\sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{uv}+\sqrt[3]{v^2}}{u, v}= \frac{\sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{uv}+\sqrt[3]{v^2}}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}\underset{u,v\to1}{\longrightarrow}\frac{1+1+1}{1+1}.$$ De manera equivalente, cuando $x\to0$, $(1\pm x)^a=1\pm ax+o(x)$ por lo tanto $$\frac{(1+x)^a-(1-x)^a}{(1+x)^b-(1-x)^b}=\frac{1+ax-(1-ax)+o(x)}{1+bx-(1-bx)+o(x)}=\frac{2ax+o(x)}{2bx+o(x)}\underset{x\to0}{\longrightarrow}\frac{a}b.$$

Answer 2

Usted puede multiplicar por el conjugado sobre el conjugado (o la correspondiente generalización de las raíces enésimas), y hacer algunas asymptotics.

por ejemplo: $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} (x- \sqrt{x^2-5x} * \frac{x+\sqrt{x^2-5x}}{x+\sqrt{x^2-5x}})$

$= \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2 - x^2+5x}{x+\sqrt{x^2-5x}}$ $= \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{5x}{x+\sqrt{x^2-5x}}$

En este punto, observa que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} x+\sqrt{x^2-5x} =\lim\limits_{x\rightarrow\infty} 2x$ y sustituto, para obtener $5/2$ como la respuesta.