Interpretación de la gavilla plana sobre una base de

Question

Estoy tratando de conseguir una interpretación de lo que significa para una gavilla plano con respecto a una base. La definición es que, dado $f:X \rightarrow Y$ morfismos de esquemas, $\mathcal{F}$ es plano sobre a $Y$ $x \in X$ si $\mathcal{F}_x$ es un plano $\mathcal{O}_y$ módulo. Se dice que es el plano que si es cierto en toda la $X$.

Dado $\mathcal{F}$ plana por $Y$, implica que una breve secuencia exacta $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathcal{G}' \rightarrow \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}'' \rightarrow 0 \end{equation}$$ en $Y$, luego $$\begin{equation} 0 \rightarrow f^*\mathcal{G}' \otimes \mathcal{F}\rightarrow f^*\mathcal{G}\otimes \mathcal{F} \rightarrow f^*\mathcal{G}'' \otimes \mathcal{F}\rightarrow 0 \end{equation}$$ es exacto en $X$? Es esto cierto? Yo estaba pensando así, dado que el tallo de la retirada, a decir de $\mathcal{G}$$f^*\mathcal{G}_x=\mathcal{G}_{f(x)}\otimes_{\mathcal{O}_{f(x)}}\mathcal{O}_x$. También se $\mathcal{G}_{f(x)}\otimes_{\mathcal{O}_{f(x)}}\mathcal{O}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{F}_x=\mathcal{G}_{f(x)}\otimes_{\mathcal{O}_y}\mathcal{F}_x$. Así que, básicamente, tienen la exactitud en los tallos de la secuencia exacta que me reclama y entonces yo podría llegar a la conclusión.

Mi argumento es correcto? Si no, ¿dónde estoy equivocada? Lo que es una buena interpretación de la planicidad sobre una base?

Gracias

Answer 1

Es cierto y la prueba está bien. Aquí es muy similar, basado en la observación de que, desde el $(f^{-1}\mathcal{O}_Y)_x = \mathcal{O}_{Y,f(x)}$ para todos los $x\in X$, $F$ es plana por $Y$ si y sólo si es plana como $f^{-1}\mathcal{O}_Y$-módulo. No trabajamos con la gavilla de los anillos de $f^{-1}\mathcal{O}_Y$ muy a menudo, porque no es un $\mathcal{O}_X$-módulo, sino $\mathcal{O}_X$ es un álgebra sobre $f^{-1}\mathcal{O}_Y$. En este caso, sin embargo, es la clave.

El functor $G\mapsto f^*(G) \otimes_{\mathcal{O}_X} F$, de hecho es exacto. Esto se desprende de la evidencia natural de equivalencia $$f^{-1}(-)\otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} F\Rightarrow f^{-1}(-)\otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}\mathcal{O}_X\otimes_{\mathcal{O}_X} F = f^*(-)\otimes_{\mathcal{O}_X} F$$ de functors de $\mathcal{O}_Y$-módulos de a $\mathcal{O}_X$- (o $f^{-1}\mathcal{O}_Y$-)de los módulos, y la exactitud de $f^{-1}(-)$. (Tenga en cuenta que aquí no importa si entendemos $f^*(G) \otimes_{\mathcal{O}_X} F$ $\mathcal{O}_X$ - o $f^{-1}\mathcal{O}_Y$-módulo: todo lo que importa es la gavilla de grupos).