El lanzamiento de las bolas de billar en ángulos de 45 grados y el rebote de los bordes.

Question

Decir que tengo una bola de billar y me lanzamiento desde la esquina inferior izquierda de una tabla con una longitud de $x$ y la anchura $y$. Dado $x$ $y$ va a la pelota llegar a la esquina de nuevo, que de la esquina y en cómo muchas veces se necesita para que rebote en el borde.

*Me lanzamiento de una $45$ grados de ángulo en el inicio y siempre rebota en los bordes en $45$ grados

Answer 1

Tengo una idea de cómo modelar el problema. Mira la imagen: cuando la pelota rebota, puede ser pensado como la introducción de una fuente virtual colocado junto a la que está viniendo. Ahora, pensando en un sistema de coordenadas cuyo origen está en la esquina inferior izquierda, las tablas esquinas están las coordenadas de $(nx, my)$$n, m \in \mathbb N$, y desea que sean iguales, por lo que puede ser tocado por la pelota que viaja en $45°$. Por lo $nx=my$ algunos $m, n$$n/m = y/x$. Creo que esta es la que aporta la solución: para nunca llegar a otra esquina de los lados de la tabla deben ser proporcionales. Y el número de mensajes es $n+m-2$.

Answer 2

Vamos a configurar esto en un plano de coordenadas. Sólo por motivos de conveniencia, voy a tener la pelota se lanza desde la esquina inferior izquierda en su lugar para que yo pueda dejar que el origen sea el punto de lanzamiento. A continuación, vamos a la esquina superior izquierda se $(0,y)$, la esquina inferior derecha se $(x,0)$, y en la esquina superior derecha se $(x,y)$. Hagamos $x\gt y$ (estamos evitando el caso trivial $x=y$ cuando se trata de un cuadrado, ya que se pasará directamente a la esquina opuesta). A continuación, el primer salto se producirá en el punto de $(x,x)$.

Aquí es lo que debemos hacer para que este problema manejable. En lugar de tener la pelota rebote en los lados izquierdo y derecho, vamos a tener que pasar a través de ellos como los portales y sale por el lado opuesto. Esto no va a afectar si el balón llega a una esquina.

A continuación, sólo queremos contar los rebotes en la parte superior y la parte inferior de la tabla, desde la izquierda y la derecha son ahora "los portales". En este caso, cada rebote se produce a un múltiplo de $y$. El eje de abscisas de la nº rebote será $$yn \mod x$$ y el final de rebote en el agujero será cuando $$yn \mod x=0$$ y el más pequeño de $n$ por que es cierto es $$n_h=\frac{x}{GCD(x,y)}$$ A continuación, el número de rebotes en la parte superior y la parte inferior es $n_h$. Luego el número de secundarios de mensajes es el número de veces que la pelota pase a través del "portal", que es $$\frac{yn_h}{x}-1$$ excluyendo la final de rebote en el agujero, ya que el número de verticales rebotes cuenta. A continuación, el número total de mensajes es $$n_h+\frac{yn_h}{x}-1$$ donde$x \gt y$$n_h=\frac{x}{GCD(x,y)}$.

Esto es un poco apresurado... si tengo que explicar más, por favor dígame.