Una desigualdad sobre la distribución binomial

Question

La cuestión es:

Considere $n$ Ensayos de Bernoulli, donde para $i = 1, 2,..., n$ El $i$ tiene probabilidad $p_i$ de éxito, y que $X$ sea la variable aleatoria que denota el número total de aciertos. Sea $ p \ge p_i$ para todos $i = 1, 2, \ldots , n$ . Demostrar que para $ 1 \le k \le n$ ,

$$\Pr \{ X < k \} \ge \sum_{i=0}^{k-1}b(i; n, p)$$

Intenté utilizar la inducción en $k$ pero obviamente no funciona.

Answer 1

Usted está tratando de mostrar que para $0\leq k\leq n$ , $\mathbb{P}[X\leq k]\geq \mathbb{P}[\text{Bin}(n,p)\leq k]$ .

Podemos demostrarlo mediante acoplamiento la idea es trabajar en un espacio de probabilidad en el que estas variables estén relacionadas de forma útil. Sea $(U_i:1\leq i\leq n)$ sea una secuencia de variables aleatorias uniformes IID sobre $[0,1]$ y escribe:

$$X=\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{U_i<p_i}\quad\text{and}\quad \text{Bin}(n,p) = \sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{U_i<p}$$

Ambos tienen las distribuciones correctas.

Ahora $ X\leq \text{Bin}(n,p)$ con toda probabilidad. En particular, en este espacio de probabilidad, $\{\text{Bin}(n,p)\leq k\}\subset \{X\leq k\}$ por lo que tomando probabilidades se obtiene el resultado.