Notación: ¿Qué se entiende por $C^{\infty}_{0}(\mathbb{R}^{+})$ ?

Question

En el capítulo 0 de la obra de Iwaniec Métodos espectrales de formas automórficas Iwaneic utiliza la notación $C^{\infty}_{0}(\mathbb{R}^{+})$ sin definición.

Supongo que es el conjunto de funciones infinitamente diferenciables de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con rango un subconjunto de los reales positivos y que tienden a cero "suficientemente rápido", pero no sé si mi suposición es correcta o cuál es la definición precisa de "suficientemente rápido" en este contexto.

¿Qué significa el subíndice de $0$ ¿se refiere a?

Answer 1

Este es uno de los casos desafortunados en los que la notación puede significar dos cosas diferentes. Puede tratarse de las funciones suaves con soporte compacto sobre los reales positivos, o puede tratarse de las funciones suaves que tienden a $0$ cuando $x \to 0$ o $x \to \infty$ . Personalmente prefiero utilizar un $c$ para el primero y reservar el $0$ subíndice para este último.

Sin más contexto, no es posible responder a su pregunta.

Answer 2

De un Pregunta de MO en el que se define dicha notación (segundo párrafo):

$C_b(\mathbb{R})$ (resp. $C_0(\mathbb{R})$ ) son las funciones continuas de $R$ a $R$ que están acotados (o que desaparecen en el infinito).