Lo que motiva a las discrepancias entre las definiciones de "continuo" y "límite"?

Question

Estoy trabajando de Munkres Análisis, y he convertido sus definiciones ligeramente para hacerlos más fáciles de comparar. En la tabla de abajo, usted puede llenar los espacios en blanco en la parte superior de la fila con las palabras de las filas inferiores a la forma de la definición:

No es claro para mí lo que motiva a algunas de las opciones cuando se trata de "llenar los espacios en blanco'. Mi mayor preocupación es el de los últimos dos espacios en blanco. La 2ª en blanco es esencialmente objeto de mi vieja pregunta aquí:

¿Por qué no definir 'límite' para incluir puntos aislados?

Y mientras yo más o menos entiendo la respuesta no (dejar en puntos aislados significa que las funciones pueden enfoque infinitamente muchos límites en puntos aislados), cuando considero cambios en las dos últimas columnas, me encuentro también considerando cambios en la 2ª.

Mi esperanza es que alguien puede construir ejemplos sencillos para cada columna (en algunas dimensiones como sea posible!) que motivan la elección, mientras que de alguna manera el trato con la interconexión problema en el que la elección de una columna afecta a la elección en otro...

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que por la definición de la topología de subespacio no iba a hacer una diferencia en la primera fila, si se reemplaza $A$ $X$ en la penúltima columna y se inserta $\cap A$ en la última columna en su lugar. Así que la diferencia entre las filas en las dos últimas columnas es sólo eso $a$ es de ser excluidos. Excluyendo $a$ en la primera fila no hacer una diferencia desde $f(a)$$V$, de todos modos, así que la única pregunta que queda sobre estas dos columnas es la razón por la $a$ está excluido en la segunda fila. No excluyendo complicaría hablando de la limitación de comportamiento de las funciones, por ejemplo, no se podía quitar extraíble discontinuidades mediante la definición de una nueva función de el uso de los límites de la función, pero tendría que excluir explícitamente el punto de discontinuidad en cada caso. (No sé si hay más razones.)

Aún así podríamos preguntar por qué no utilizamos $X$ en la penúltima columna sin $\cap A$ en la última columna. Esto es porque, de lo contrario no habrá ningún adecuado abrir conjuntos de si $x$ está en el límite de $A$, pero en el interior de $X$. Por ejemplo, considere el$X=Y=\mathbb R$$A=[0,1]$, y deje $f(x)=0$. Si aplicamos $f$ directamente a $U$ sin intersección con la a $A$, tiene que ser un subconjunto de a $A$, pero no hay subconjuntos de a $A$ contiene $0$ que se abren en $X$, por lo que esta función no sea continua si se requiere $U$ a ser abierta en $X$.

Respecto a la tercera columna, creo que no hay mucho que explicar, simplemente los puntos que nos interesa, y deben estar en $V$ porque de lo contrario no hay ninguna razón para esperar que el resto de la definición tiene nada que ver con ellos.