Comprensión espacio-como hyperplanes en el espacio de Minkowski

Question

Aquí uso: $$\eta = \begin{bmatrix}-1&0\\0&I_3\end{bmatrix}$$ Dos puntos de $X$ $Y$ se dice que es como el espacio al $(X-Y)^T\eta(X-Y)>0$. Es decir, la luz no puede llegar de uno a otro, ellos están separados espacialmente.

Un espacio-como hyperplane 3D es subespacio del espacio de Minkowski, donde todos los puntos son como el espacio, separados unos de otros. Un tiempo-como hyperplane 3D es subespacio del espacio de Minkowski, donde al menos dos puntos de tiempo-como separados, $(X-Y)^T\eta(X-Y)<0$.

Veo que una instantánea de un espacio 3D en un momento en particular que satisface la definición de que es como el espacio. Yo creo que cualquier transformación de Lorentz de que hyperplane es también un espacio-como hyperplane, ya $L^T \eta L = \eta$ donde $L$ es una transformación de Lorentz. Son estas todo el espacio como hyperplanes? Si es así, es muy fácil demostrar que: $$d(X,Y) = \sqrt{|(X-Y)\eta(X-Y)|}$$ Es una métrica en cualquier espacio-como hyper plano, sólo se necesita para transformar el plano de lo habitual en el espacio 3D a todos en un momento determinado (preferiblemente t=0) y este se convierte en el habitual métrica en el espacio euclidiano. Si me he equivocado y no todos como el espacio hyperplanes se describen como arriba, entonces ¿cómo se podía demostrar que la función de distancia definido es de hecho una métrica en cualquier espacio como hyperplane? En particular, la desigualdad de triángulo deben tener. Y cómo se podría ir sobre la muestra de que el triángulo de la desigualdad se invierte en un tiempo-como hyperplane?

Estoy buscando un poco de intuición acerca de estos hyperplanes, las definiciones anteriores son todos los que tengo de mi libro.

Answer 1

Yo uso un poco de más-índice estándar de notación, por favor comprenda $x^\mu$ como su vector de columna $X$ $x_\mu$ como el vector de fila $X^T~\eta.$ Desde $\eta~\eta^T = 1$ también se puede reconstruir el vector de un covector, $\eta~(X^T \eta)^T.$ La parte superior/inferior del índice sólo identifica los vectores distintos de la covectors,¹ pero es útil, sin embargo creo que, en algún nivel, acerca de los "componentes" en varias direcciones o a lo largo de varios ejes.

Así que el 4-posiciones $r^\mu$ en un hyperplane satisfacer $q_\mu~r^\mu = C$ para algunos 4-covector $q_\mu$ y algunos $C;$ el requisito de que este hyperplane ser spacelike significa que si dos puntos de $r^\mu_{0,1}$ están en esta hyperplane luego se spacelike separados, el cual es una declaración acerca de la $\Delta r^\mu = r^\mu_1 - r^\mu_0.$ podemos ver rápidamente que $q_\mu~\Delta r^\mu = 0,$ pero si $q^\mu$ no es timelike entonces existe algún Lorentz impulso que lleva su $ct$-componente igual a $0,$ y en el consiguiente marco de referencia la timelike 4-desplazamientos $\Delta r^\bullet = (ct, \vec 0)$ resolver la ecuación, así que por contradicción: un spacelike hyperplane tiene un timelike vector normal, $q_\mu~q^\mu < 0$ $(-~+~+~+)$ métrica.

Desde $q^\mu$ es timelike existe una transformación de Lorentz que hace punto enteramente a lo largo de la $ct$-eje, y de hecho dentro de este especial de marco de referencia el invariante intervalos de $(r_0)_\mu ~ r_1^\mu$ reducir a la normal de 3 dimensiones producto escalar de a $x_1~x_2 + y_1~y_2+z_1~z_2.$ de Acuerdo con este marco de referencia, este es el espacio 3D, "congelado en un instante de tiempo."

Conos de luz y spacelike hyperplanes

También podemos razón en la dirección inversa: si usted se imagina que en su marco de referencia, en $t = x = y = z = 0,$ algún evento como una supernova ocurre: se lanza una esfera de luz que anuncia su existencia al mundo, que se expande uniformemente en la velocidad de $c$. Cada 4-posición en un momento posterior, que es dentro de este ámbito es timelike separados desde el origen. Esta expansión de la burbuja, es conocido oficialmente como el "cono de luz futuro" de el origen. También hay un "pasado cono de luz" de todos los lugares en el espacio-tiempo cuya luz ha llegado el origen, una negativa-tiempo, la expansión de la burbuja en expansión a la misma velocidad $c$. Spacelike hyperplanes por el origen, correspondiente a estos timelike vectores normales, puede inclinarse en cualquier modo, de manera que todavía están atrapados entre los dos conos.

Ahora, otro evento que ocurre en un lugar en el espacio-tiempo: ignorando el caso de degeneración hay exactamente tres lugares puede suceder: en el cono de luz futuro, en el pasado cono de luz, o en el espacio entre los dos. Lorentz transforma puede cambiar la escala de algunas burbujas en relación a otras burbujas, pero siempre los mapas de la luz-los conos de luz-conos y siempre conserva esta partición de puntos dentro de/sin los conos de luz. Y usted puede topológicamente ver la diferencia: en, digamos, el futuro, la expansión de la burbuja de la que está totalmente contenida en la expansión de la burbuja de los otros (excepto en los momentos en que no exista); en el presente caso, las dos burbujas finalmente se reúnen en un círculo en expansión. Ahora, en el futuro-caso: existe un marco de referencia que viajaron desde una ubicación del evento para el otro, y que las medidas de un momento especial entre los eventos que se llama el "momento adecuado", que todos los demás medidas como esta "espacio-tiempo" intervalo entre los eventos, $~(X - Y)^T~\eta~(X - Y).$ es el tiempo real de estos marcos de referencia en que ambos eventos ocurrieron en el mismo lugar. Y podemos decir definitivamente: "objetivamente tiempo separados implica no objetivamente separados por espacios." Estos marcos de referencia pensar que ambos ocurrieron en el mismo lugar; otros marcos de referencia pensar que podría haber ocurrido en diferentes lugares. Otros marcos de referencia también debe solicitar una "dilatación del tiempo" factor de $\gamma$ a el tiempo apropiado entre estos dependiendo de la velocidad de $|v|$ piensan que los "adecuada" marcos de referencia están moviendo más allá de ellos.

Usted probablemente puede ver el conversar lado, pero vamos a ir a través de él: si los dos eventos son objetivamente separados por espacios, a continuación, existe una spacelike hyperplane a través de ellos, nos Lorentz-transformar esta a ser perpendicular al eje de tiempo, y la distancia entre los eventos que se convierte en una "distancia adecuada"; que son objetivamente espacio separado pero no objetivamente tiempo separados; algunos hyperplanes por el origen de pasar por encima de este otro evento y creo que está en su pasado, algunos pasan por debajo de él y pensar en su futuro. Objetivamente separadas por espacio implica no objetivamente tiempo separados, y los marcos de referencia que se ve a los dos eventos, como ocurre en la misma medida de tiempo de una "distancia adecuada," que todos los demás deben "longitud dilatar" por un factor de $\gamma$, según como se vea el adecuado marco de referencia en movimiento más allá de ellos, pero ellos también, por supuesto, ver los eventos que suceden en diferentes momentos ($\gamma\beta/c$ veces la distancia adecuada).

[RECORD-CERO-SONIDO] de Longitud-ampliar? ¿Qué acerca de la longitudde la contracción?!

Eso es un poco más complicado y se trata de una diferencia en lo "correcto" significa a veces cuando se utiliza. En paralelo dos timelike mundo-líneas de $s \mapsto r_{0,1}^\mu + \tau^\mu~s$ tendrá este vector tangente $\tau^\mu$ que es timelike, por lo que podemos fomentar en el fotograma en el que el vector de puntos a lo largo del eje de tiempo; el resultado de "resto de fotogramas" para los dos objetos se puede decir que la medida de una "distancia" entre estas dos líneas, y que los contratos como $1/\gamma,$ pero, por supuesto, estamos midiendo la distancia entre los objetos en "tiempos diferentes" en comparación con el marco donde se está en reposo. La diferencia es que el primero se ve a dos acontecimientos que son spacelike separados, el segundo ve a los dos objetos que mantienen una spacelike de separación para todos los tiempos para todos los espectadores.

1. En este "resumen índice" en la notación de estos superior/inferior de los índices, en realidad no la etiqueta de los componentes individuales; sólo son etiquetas para que "este es un vector" (superior) y "este es un covector" (inferior) y varios índices se refieren a un exterior producto tensor como $x^\mu~y^\nu \leftrightarrow X\otimes Y,$ el seguimiento de cual es cual. La repetición de una parte superior y inferior de la letra griega indica "aplicar este covector para que el vector"; si que huele un poco matemáticamente pescado es porque usted ¿ necesita un extra axioma de que los tensores que viven en $T^{\mu\nu}$ siempre puede ser descompuesto como algo de suma $\sum_i u_i^\mu~v_i^\nu$ y así sucesivamente para los tensores de otras valencias: entonces esta acción de "la aplicación de la covectors a los vectores" puede ser pensado como un lineal mapa de $T^{\mu\mathcal X}_{\nu\mathcal Y}\to T^{\mathcal X}_\mathcal Y$ que nos simbolizan mediante la repetición de algunas índice arriba y abajo, formando una especie de "huella". De todos modos le iba a escribir $x_\mu = \eta_{\mu\nu}~x^\nu$ de acuerdo con este tipo de notación.