Por favor, permítanme elaborar un poco más sobre Riemann, y Jeb elegante exposición.
Así que imagínate el contorno de $\gamma$ como viene sólo "por encima de" el eje real de $+\infty$ $0$y, a continuación, balanceándose en sentido antihorario alrededor del origen, y, a continuación, volver solo "abajo", el eje real de vuelta a $+\infty$.
Como Riemann sugiere, podemos escribir $(-x)^{s-1} = e^{(s-1)\log(-x)}$. Pero lo que debe $\log(-x)$ ser igual de positivos $x$?
Como Jeb sugerido, $-1 = e^{i\pi} = e^{-i\pi}$, así que podemos escribir $\log(-x)$ $\log(e^{i\pi}x) = i\pi+\log{x}$ o $\log(e^{-i\pi}x) = -i\pi+\log{x}$. Sin embargo, debemos tomar decisiones que preservar la continuidad de $\log(-x)$ $x$ se mueve a lo largo del contorno en el plano complejo. También, como Riemann especifica, queremos $\log(-x)$ a ser real cuando se $x$ es negativo.
Para la pieza del contorno de$+\infty$$0$, debemos elegir
$$\log(-x) = -i\pi+\log{x}.$$
En el camino de regreso de$0$$+\infty$, con el fin de preservar la continuidad que debe tener
$$\log(-x) = i\pi+\log{x}.$$
Por lo tanto, la integral de la parte del contorno de $+\infty$ $0$es igual a
$$\int_{+\infty}^0 \frac{e^{-(s-1)i\pi}e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx = e^{-\pi si} \int_0^{+\infty} \frac{e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx.$$
Y la integral de la parte del contorno de $0$ $+\infty$es igual a
$$\int_0^{+\infty} \frac{e^{(s-1)i\pi}e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx = -e^{\pi si} \int_0^{+\infty} \frac{e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx.$$
Ahora agregue las dos piezas juntas para obtener Riemann es el resultado.