Riemann Zeta función de continuación Analítica integral

Question

Siguiente Riemann de papel sobre la continuación analítica de la Función Zeta:

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/EZeta.pdf

No puedo entender el contorno integral paso a paso:

"Ahora bien, si se considera el contorno integral de +infinito a +infinito tomado en un sentido positivo alrededor de un dominio que incluye el valor 0, pero ningún otro punto de discontinuidad de el integrando en su interior, entonces esto puede verse fácilmente a ser igual a:"

$$\int_\gamma\frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}dx=(e^{-\pi s i}-e^{\pi s i})\int_0^\infty\frac{{x}^{s-1}}{e^x-1}dx$$ Alguien puede explicar cómo puedo obtener este resultado ?

Saludos,

Answer 1

Por favor, permítanme elaborar un poco más sobre Riemann, y Jeb elegante exposición.

Así que imagínate el contorno de $\gamma$ como viene sólo "por encima de" el eje real de $+\infty$ $0$y, a continuación, balanceándose en sentido antihorario alrededor del origen, y, a continuación, volver solo "abajo", el eje real de vuelta a $+\infty$.

Como Riemann sugiere, podemos escribir $(-x)^{s-1} = e^{(s-1)\log(-x)}$. Pero lo que debe $\log(-x)$ ser igual de positivos $x$?

Como Jeb sugerido, $-1 = e^{i\pi} = e^{-i\pi}$, así que podemos escribir $\log(-x)$ $\log(e^{i\pi}x) = i\pi+\log{x}$ o $\log(e^{-i\pi}x) = -i\pi+\log{x}$. Sin embargo, debemos tomar decisiones que preservar la continuidad de $\log(-x)$ $x$ se mueve a lo largo del contorno en el plano complejo. También, como Riemann especifica, queremos $\log(-x)$ a ser real cuando se $x$ es negativo.

Para la pieza del contorno de$+\infty$$0$, debemos elegir $$\log(-x) = -i\pi+\log{x}.$$

En el camino de regreso de$0$$+\infty$, con el fin de preservar la continuidad que debe tener $$\log(-x) = i\pi+\log{x}.$$

Por lo tanto, la integral de la parte del contorno de $+\infty$ $0$es igual a $$\int_{+\infty}^0 \frac{e^{-(s-1)i\pi}e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx = e^{-\pi si} \int_0^{+\infty} \frac{e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx.$$ Y la integral de la parte del contorno de $0$ $+\infty$es igual a $$\int_0^{+\infty} \frac{e^{(s-1)i\pi}e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx = -e^{\pi si} \int_0^{+\infty} \frac{e^{(s-1)\log{x}}}{e^x-1}\,dx.$$

Ahora agregue las dos piezas juntas para obtener Riemann es el resultado.

Answer 2

Utilice el hecho de que $-1 = e^{\pi i}$ y calcular el residuo de a $0$. A continuación, el resultado se sale a través del teorema de los residuos.