Probabilidad de rodar un valor un cierto número de veces en una cierta cantidad de tiradas

Question

Estoy familiarizado con la fórmula para calcular la probabilidad de sacar un número determinado al menos una vez determinado $x$ rollos de morir con $y$ lados, que es:

$$P_1(x, y) = 1 - \left(1 - \frac{1}{y}\right)^x$$

donde el subíndice $1$ indica que el número debe ser lanzado al menos una vez. Por ejemplo, la probabilidad de sacar un 6 en 6 rollos de D6 sería $P_1(6, 6) = 1 - \left(1 - \frac{1}{6}\right)^6 \approx 0.665$.

Esto me puso a pensar cuál es la probabilidad sería de rodar un número de, al menos, $n$ veces da lo mismo morir condiciones. He trabajado manualmente la probabilidad para n = 2:

$$P_2(x, y) = \frac{x}{y}-\left(1 - \left(1 - \frac{1}{y}\right)^x\right)$$

Esto funciona incluso si sólo se tiran dos dados, en cuyo caso la probabilidad de que simplemente debe ser $(\frac{1}{y})^2$, y lo es. Para un D20, $P_2(2, 20) = (\frac{1}{20})^2 = \frac{1}{400}$.

Después de eso traté de averiguar cómo se representa la $P_3(x, y)$, pero por desgracia no he podido hacerlo. Anteriormente, yo estaba efectivamente considerando un coeficiente binomial en términos geométricos. El uso de $P_n(3, y)$ como un ejemplo y buscando rollos de 20 por simplificar, que yo consideraba un cubo de lado de longitud $y$ dividido en $y^3$ unidades de cubos. Para $P_1$ me tomó la cara de los cubos, se resta el borde de los cubos, y se añade de nuevo la esquina de darme el número de rollos en los que un 20 apareció. Para $P_2$, la fórmula era el borde cubos $-$ rincón para todos los rollos en la que dos de los años 20 apareció. Sé que todo esto implica coeficiente binomial, pero en realidad nunca tuvo una adecuada estadísticas de la clase, así que mi conocimiento de su aplicación es limitada. Para encontrar un caso general, para $P_3$, tendría que considerar la posibilidad de un 4-cubo que he intentado y han fracasado.

Estoy seguro de que esto se podría hacer fácilmente mediante el coeficiente binomial, sino que es una especie de ¿por qué estoy preguntando sobre esto. Estoy bastante seguro de que mi expresión de $P_2$ sólo tiene el extra de $\frac{x}{y}$ plazo debido a la $\binom{3}{1}$ $\binom{3}{2}$ ocurren a la igualdad de 3 y por lo tanto podría ser reorganizado de manera algebraica.

Mi pregunta es esta: ¿hay un caso general, la fórmula para $P_n(x, y)$ que representa la probabilidad de obtener un número $n$ veces $x$ rollos de una $y$colindado muere. Además dijo que la fórmula sea diferente si la necesidad era rodar un número $n_1$ a veces y otro número $n_2$ veces y así sucesivamente? Existe una caso general para $P_{{n_1}, {n_2}, ...}(x, y)$?

Answer 1

Si elige exactamente $n$ veces, entonces es fácil:${x \choose n}$ colocar el$n$ yes en una secuencia de$x$ yes + no, cada uno con prob. $(1/y)^n((y-1)/y)^{x-n}$.
Lamentablemente, no existe una fórmula cerrada para un binomio truncado, que es lo que obtienes al sumar para$n$.

Answer 2

Le he preguntado a varias preguntas aquí. Me ocuparé de la primera: encontrar la probabilidad de obtener un número mínimo de $x$ veces $n$ rollos. Básicamente lo que hace es preguntar acerca de la función de distribución acumulativa de la distribución Binomial.

Para una variable aleatoria $X$, el c.d.f. de su distribución les da la probabilidad de $\Pr(X\le x)=F(x)$. El parámetro $x$ es generalmente llevado a ser un número real. Para una variable aleatoria discreta, la c.d.f. puede ser simplemente expresada por una suma de los valores de su p.d.f. (función de distribución de probabilidad de una.k.una. función de masa de probabilidad): suponiendo que $X$ puede tomar en positivo integral de valores, $$F(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}\Pr(X=k).$$ ($\lfloor x\rfloor$ stands for the floor of $x$, the greatest integer less than or equal to $x$).

Como se sospechaba, los coeficientes binomiales están involucrados en la tirada de dados de probabilidades. Cuando buscando algo específico valor único, cada uno tirada de dados puede ser visto como un sistema independiente del éxito o el fracaso ("Bernoulli") de prueba con un uniforme de la probabilidad de $p$ de éxito. Para reducir el desorden, su común el uso de $q=1-p$ para la probabilidad de un fallo en estos cálculos. En la siguiente, vamos a $X$ ser una variable aleatoria que cuenta el número de éxitos. La probabilidad de que exactamente $k$ éxitos en $n$ ensayos es bastante fácil de calcular: La probabilidad de que la primera $k$ ensayos son un éxito y el resto fracasos es, obviamente,$p^kq^{n-k}$. Hay $\binom nk$ posibles secuencias de $k$ éxitos y $n-k$ fallas, por lo $\Pr(X=k)=\binom nkp^kq^{n-k}$, tal como se describe en G de la Cabina respuesta. La probabilidad de que en la mayoría de las $k$ éxitos es entonces $$\Pr(X\le k)=\sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor}\binom nip^kq^{n-i}.$$ As G Cab mentions, partial sums of binomial coefficients don't usually have a nice closed form, but in this case, there is an expression of this sum as an integral: $$\Pr(X\le k)=(n-k)\binom nk\int_0^qt^{n-k-1}(1-t)^k\,dt$$ (ver el artículo sobre la distribución Binomial que he enlazado en la parte de arriba para obtener más detalles.) Para un gran número de dados, una aproximación normal para este valor puede ser más barato/más fácil de calcular.

La generalización de preguntar acerca al final de su pregunta es la distribución Multinomial, que no voy a entrar aquí. El artículo de Wikipedia sobre lo que es un lugar razonable para empezar a leer sobre eso.