¿Puede alguien explicar la intuición detrás de los tensores? ¿Como un ejemplo o algo parecido que deba tener en cuenta al leer los teoremas al respecto? No puedo visualizarlo
Gracias de antemano.
Respuesta
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Una posible aproximación a los tensores, es verlos como multidireccionales (o multiarray). Aquí hay una forma de intuirlo:
- Un conjunto de números puede unirse (respetando un orden determinado) para obtener un vector (= tensor de orden $1$ ). $$ x_1,\ldots, x_n\in\Bbb R \qquad \to\qquad \begin{pmatrix}x_1\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}\in\Bbb R^{n}$$
- Un conjunto de vectores (de idéntica dimensión) puede unirse (respetando un orden determinado) para obtener una matriz (= tensor de orden $2$ ). $$ \begin{pmatrix}x_{1,1}\\\vdots \\x_{m,1}\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}x_{1,n}\\\vdots \\x_{m,n}\end{pmatrix}\in\Bbb R^{n} \qquad \to\qquad\begin{pmatrix} x_{1,1}&\dots& x_{1,n}\\\vdots & & \vdots \\ x_{m,1}&\dots & x_{m,n}\end{pmatrix}\in \Bbb R^{m\times n}$$
- Un conjunto de matrices (de idéntica dimensión) puede juntarse (respetando un orden determinado) para obtener un tensor de orden $3$ . $$\begin{pmatrix} x_{1,1,1}&\dots& x_{1,n,1}\\\vdots & & \vdots \\ x_{m,1,1}&\dots & x_{m,n,1}\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix} x_{1,1,k}&\dots& x_{1,n,k}\\\vdots & & \vdots \\ x_{m,1,k}&\dots & x_{m,n,k}\end{pmatrix}\in \Bbb R^{m\times n}\\ \qquad \to\qquad \big(x_{i_1,i_2,i_3}\big)_{\substack{1\leq i_1 \leq m\\ 1\leq i_2 \leq n\\ 1 \leq i_3 \leq k}}\in\Bbb R^{m\times n \times k}$$
- Un conjunto de tensores de orden $3$ (de idéntica dimensión) pueden juntarse (respetando un orden determinado) para obtener un tensor de orden $4$ . $$\big(x_{i_1,i_2,i_3,1}\big)_{\substack{1\leq i_1 \leq m\\ 1\leq i_2 \leq n\\ 1 \leq i_3 \leq k}},\ldots,\big(x_{i_1,i_2,i_3,p}\big)_{\substack{1\leq i_1 \leq m\\ 1\leq i_2 \leq n\\ 1 \leq i_3 \leq k}}\in\Bbb R^{m\times n \times k} \qquad \to\qquad \big(x_{i_1,i_2,i_3,i_4}\big)_{\substack{1\leq i_1 \leq m\\ 1\leq i_2 \leq n\\ 1 \leq i_3 \leq k\\ 1 \leq i_4 \leq p}}\in\Bbb R^{m\times n \times k\times p}$$
- etc...
Ten en cuenta que aquí he hecho un ejemplo para tensores reales, pero, por ejemplo, puedes sustituir $\Bbb R$ por $\Bbb C$ y la idea sigue siendo la misma.
