Propiedad universal del producto tensor

Question

Posibles Duplicados:
La igualdad de dos nociones de tensor de productos a través de un anillo conmutativo

Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Hay dos definiciones comunes de producto tensor de dos $A$-módulos de $M$ $N$ en términos de universales de la propiedad. Una definición lo define como un objeto universal de un mapa $$\tau:M\times N\rightarrow G,$$ donde $G$ es un grupo abelian, y $\tau$ $A$equilibrada, es decir,

1. $\tau(m+m',n)=\tau(m,n)+\tau(m',n)$,
2. $\tau(m,n+n')=\tau(m,n)+\tau(m,n')$,
3. $\tau(a\cdot m,n)=\tau(m,a\cdot n)$.

Otra definición se define como un objeto universal de un mapa $$\sigma:M\times N\rightarrow L,$$ donde $L$ $A$- módulo, y $\sigma$ $A$- bilineal, es decir,

1. $\sigma(m+m',n)=\sigma(m,n)+\sigma(m',n)$,
2. $\sigma(m,n+n')=\sigma(m,n)+\sigma(m,n')$,
3. $\sigma(a\cdot m,n)=a\cdot\sigma(m,n)$,
4. $\sigma(m,a\cdot n)=a\cdot\sigma(m,n)$.

Siempre pensé que eran definiciones equivalentes, pero ahora me he hecho un par de observaciones:

1. Deje $\tau:M\times N\rightarrow G $ ser un objeto universal en el primer sentido. Si $G$ pasa a ser un $A$-módulo de e $\tau$ pasa a ser $A$-bilineal, a continuación, $\tau$ es un objeto universal en el segundo sentido.
2. Deje $\sigma:M\times N\rightarrow L$ ser un objeto universal en el segundo sentido. No parece que siga $\sigma$ es un objeto universal en el primer sentido.

Así que, intuitivamente, parece que "el conjunto de los primeros objetos universales contiene el set de la segunda objetos universales". Estoy en lo cierto? Si es así, entonces parece necesario distinguir las dos definiciones de producto tensor.

Answer 1

Estos dos tensor de los productos son diferentes el uno del otro en un sentido categórico.

La primera se puede hacer con cualquier anillo de $R$, conmutativa o no, y se crea el grupo abelian $M\otimes_R N$ desde la derecha del módulo de $M$ y a la izquierda del módulo de $N$. Esta versión viene de la categoría de producto de derecho $R$ módulos y a la izquierda $R$ módulos y entrar en la categoría de abelian grupos.

Si $S$ es otro anillo, y $M$ $S-R$ bimodule ahora, y $N$ es todavía una izquierda $R$ módulo, entonces usted puede también forman $M\otimes_R N$, pero ahora el producto tensor natural de la izquierda $S$ estructura del módulo. Así, este functor es más apropiado considerar como el producto de la bimodule categoría con la izquierda $R$ la categoría de módulo, en la categoría de la izquierda $S$ módulos.

Cuando dejas $R$ ser conmutativa todas estas distinciones se vuelven difusas (como a menudo es el caso con conmutatividad.) El objeto que se obtiene con la primera definición será, naturalmente, compatible con el ingenuo $R$ bimodule estructura en cada uno de los módulos. Entonces, no sólo el producto tensor ser un grupo abelian, va a tener un $R-R$ bimodule estructura. Todo depende de su inicial punto de vista de las categorías que están viajando entre.

Answer 2

[Es muy elementales. Pero si tratas de mantener las cosas separadas mediante el uso de diferentes símbolos para diferentes estructuras, es más difícil de ver. Voy a seguir para su anotación, pero el uso de $UM$ para el subyacente grupo abelian de un módulo, $U\sigma$ $\sigma$ considerado como una de morfismos de abelian grupos, $FG$ por un grupo convertido en un módulo de e $F\tau$ por un grupo de morfismos tratada como una lineal mapa o bilineal mapa de los módulos. Usted puede hacer caso omiso de la $U$'s y $F$s' para obtener la idea básica.]

Considerar el universal $A$-equilibrado mapa de $\tau_0 : M \times N \to M \otimes_A N$. Puedo demostrar que es un universal $A$-bilineal mapa. Es muy útil el uso de la notación $m \otimes n$$\tau_0(m,n)$. Tenga en cuenta que todo en la $M \otimes_A N$ es de la forma $m \otimes n$.

$M \otimes_A N$ es un grupo abelian. Pero, debido a $am \otimes n = m \otimes an$, que ya ha sido creado para convertirse en un $A$-módulo. Basta con definir la multiplicación escalar como $a \cdot (m \otimes n) = am \otimes n$.

• Observe que $a \cdot (m \otimes n) = m \otimes an$. Sólo la transitividad de la igualdad en el juego aquí.
• Observe que $\tau_0$ es ahora un $A$-bilineal mapa.

[Si desea comprobar los tipos de burocracia, se han definido $F(M \otimes_A N)$, extendiendo $M \otimes_A N$ con la multiplicación escalar, y $F\tau_0 : M \times N \to F(M \otimes_A N)$ que es el mismo que $\tau_0$ considerado como un bilineal mapa.]

Nxt queremos argumentar que $F\tau_0$ es universal entre todos los $A$-bilineal mapas. Sabemos que todos los bilineal mapas subyacentes equilibrada mapas . Así que, dado cualquier bilineal $\sigma : M \times N \to K$, tenemos un subyacente equilibrada mapa de $U\sigma : M \times N \to UK$. No hay un único grupo abelian de morfismos $\tau' : M \otimes_A N \to UK$ tal que $U \sigma = \tau' \circ \tau_0$. De hecho, es definido por $\tau'(m \otimes n) = U\sigma(m,n)$.

• Observe que $\tau'$ es bilineal. $\tau'(am \otimes n) = \tau'(a \cdot (m \otimes n)) = a \cdot \tau'(m \otimes n)$ porque $a \cdot (m \otimes n)$$am \otimes n$, por definición. Del mismo modo, $\tau'(m \otimes an) = a \cdot \tau'(m \otimes n)$.

[Para obtener los tipos de burocracia a la derecha, nos han mostrado $\sigma = FU\sigma = F\tau' \circ F\tau_0$. Y, esta $F\tau'$ es el único factor para $FU\sigma$ porque $\tau'$ fue el único factor para $U\sigma$.]

Así, hemos demostrado que cada bilineal mapa de $\sigma : M \times N \to K$ exclusiva de los factores a través de $F\tau_0 : M \times N \to F(M \otimes_A N)$, ergo $F(M \otimes_A N)$ es el producto tensor (en el sentido de ser el codominio de la universal bilineal mapa).