¿Mi prueba de$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { x+8 }{ x+3 } =1 } $ es correcta?

Question

$$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { x+8 }{ x+3 } =1 } $$

Prueba: Supongamos $\epsilon > 0$

$$\left| \frac { x+8 }{ x+3 } -1 \right| <\epsilon $$

$$\Longrightarrow \left| \frac { x+8 }{ x+3 } -\frac { x+3 }{ x+3 } \right| <\epsilon $$

$$\Longrightarrow \left| \frac { 5 }{ x+3 } \right| <\epsilon $$

$$\Longrightarrow \frac { 5 }{ \left| x+3 \right| } <\epsilon $$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x>-3$

Entonces, tenemos: $$\frac { 5 }{ x+3 } <\epsilon $$

$$\Longrightarrow 5< \epsilon (x+3)$$

$$\Longrightarrow 5<\epsilon x+3\epsilon $$

$$\Longrightarrow \epsilon x>5-3\epsilon $$

$$\Longrightarrow x>\frac { 5 }{ \epsilon } -3$$

Con esto concluye mi prueba, pero todavía tengo muchas preguntas. Me siento como un ordenador cuando estoy haciendo esto. Yo de verdad no entiendo lo que estoy haciendo y sé que esto va a volver a atormentarme en algún momento.

Así, algunas de las cosas que quiero aclaración sobre:

1) Si mi prueba es incluso correcta y completa

2) ¿por Qué debo asumir que $x>-3$ me parece muy arbitrario.

3) ¿Qué exactamente significa todo esto y por qué lo hizo probar lo que me pidió.

Answer 1

La prueba tiene la idea correcta, pero avanza en la dirección equivocada. En particular, para mostrar que $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=c$ necesitas que hay algunos $N$, de modo que para cualquier $x>N$ tenemos $|f(x)-c|<\varepsilon$. Ahora, tienes todos los elementos juntos, pero lo que tenemos es:

Si $|f(x)-c|<\varepsilon$$x>N$.

que es distinto de lo que usted necesita:

Si $x>N$ $|f(x)-c|<\varepsilon.$

Ahora, todos sus pasos son reversibles, por lo que sólo puede escribir su prueba a la inversa y sea correcta. Observe que la prueba se establece implícitamente $N=\frac{5}{\varepsilon}-3$, que es la razón por la que los números son importantes.

También, por qué asumir $x>-3$ eso es sólo para que usted no tenga que lidiar con la asíntota vertical en $x=3$. Usted puede hacer eso ya que sólo se preocupan por lo "grande" $x$ act.

Answer 2

Para hacer valer $$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { x+8 }{ x+3 } =1 }$$ es decir, en casual palabras, que si $x$ es grande, que la fracción está cerca de a $1$. En matemáticas de la jerga legal, es decir que dado un $\epsilon >0$, se puede encontrar una $L$ tal que $x > L$ implica $$ \left| \frac { x+8 }{ x+3 } -1 \right| <\epsilon.$$ Su álgebra es realmente el cálculo de $L$: $$ L = {\frac { 5 }{ \epsilon }} -3.$$

Así que usted realmente quiere convencer al lector de que, si él o ella comienza con la última línea de su argumento, y leer al revés, (es decir, con su flecha $\Longrightarrow$ reemplazados con $\Longleftarrow$, de modo que una línea dada, implica que el anterior), llegan a la conclusión de que la fracción está dentro de$\epsilon$$1$.

Por otro lado, se calculó el $L$ en el orden en el que escribió su argumento - por supuesto... Así que ya sea que usted use $\Longleftrightarrow$ (por lo tanto usted y su lector son felices), o que secretamente hacer, por un lado, su cálculo, y escribir el argumento, comenzando con si

$ x> {\frac { 5 }{ \epsilon }} -3$, entonces ...., concluyendo con un "nos vemos obligados a concluir que la fracción está dentro de $\epsilon$ $1$ - demostrando que el límite es de $1$, como se desee."

OK?