Ecuación de Laplace transformación de Fourier

Question

Traté de resolver pero no lo hice. Por favor me ayude.

$$u_{xx} + u_{yy} = 0$$

$$-\infty < x < \infty$$

$y>0$ , $u_{y}(x,0)=f(x)$.

Mostrar que

$$u(x,y)= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}ln((x-z)^2+y^2)f(z)dz+cx+d $$

$c$,$d$ son constantes.

Sugerencia: si $ w(x,y)=ln[(x-z)^2+y^2] $ $ w_{xx}+w_{yy}=0 $

Gracias por su ayuda.

Editar:

Sé que $$ u_{xx} + u_{yy} = 0 $$
$$ u(x,y)= \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(z)}{(x-z)^2+y^2}dz $$

con la $ u(x,0)=f(x) $ condición de frontera, pero esta pregunta condición de frontera es diferente saber que $ u_{y}(x,0)=f(x)$ he intentado algo pero no funciona.

Si usted puede resolver, por favor ayuda !

Answer 1

Creo que cuando usted está atascado en el FT solución. Tenga en cuenta que los PIES de la ecuación es

$$\hat{u}(k,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \, u(x,y) e^{i k x}$$

así que

$$-k^2 \hat{u} + \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial y^2} = 0$$

lo que significa que

$$\hat{u}(k,y) = A(k) e^{k y} + B(k) e^{-k y}$$

sujeto a

$$\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}(k,0) = \hat{f}(k)$$

$\hat{f}$ la FT de $f$. Hay otra condición, que es implícita, de que la solución debe morir como $y \to \infty$. Esto requiere un poco de cuidado porque $k$ puede ser positivo o negativo. La forma de hacerlo, mientras que requieran continuidad en $k=0$ es para

$$\hat{u}(k,y) = C(k) e^{-|k| y}$$

La condición de contorno en $y=0$ requiere que

$$C(k) = -\frac{\hat{f}(k)}{|k|}$$

Que todo salió bien, ahora podemos escribir

$$u(x,y) = -\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \frac{\hat{f}(k)}{|k|} e^{-|k| y} e^{-i k x}$$

Esto es un poco desagradable con la $|k|$ en el denominador, así que voy a tomar un derivado en $y$:

$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, \hat{f}(k)\, e^{-|k| y} e^{-i k x}$$

Por el teorema de convolución, podemos reescribir esta integral. Tenga en cuenta que la inversa de la FT de $e^{-|k| y}$$(y/\pi)/(x^2+y^2)$. Entonces tenemos

$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx' \frac{f(x')}{(x-x')^2+y^2}$$

Ahora integramos con respecto a $y$:

$$u(x,y) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx' \, f(x') \, \ln{[(x-x')^2+y^2]} + P x+Q$$

donde $P$ $Q$ son constantes de integración.

Answer 2

Fourier transforma la ecuación original y la condición de frontera dos veces en x , obtiene una EDO, la resuelve usando la condición de frontera, luego transforma la solución inversa para obtener la deseada. Agregue el término lineal al final para satisfacer la ecuación original. Utilice, por ejemplo, estas notas de clase como guía. Espero que esto ayude.