Cómo resolver problemas que involucran raíces. $\sqrt{(x+3)-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{(x+8)-6\sqrt{x-1}} =1$

Question

Cómo resolver problemas que involucran raíces. Si los cuadramos podemos ir a cuarto grado. Debe haber alguna técnica para resolver esto.

ps

Answer 1

Recta, se puede obtener la siguiente ecuación :

$$ \sqrt{(2-\sqrt{x-1})^2} + \sqrt{(3-\sqrt{x-1})^2} =1 $$

lo que conduce a la siguiente ecuación :

$$ |2-\sqrt{x-1}| + |3-\sqrt{x-1}| =1 $$

Entonces usted tendrá tres casos a discutir :

• caso : $\sqrt{x-1} \leq2$ (equivalente a $x\leq5$) :

$\sqrt{x-1} = 2$ $x = 5$

• caso: $\sqrt{x-1} >2$ $\sqrt{x-1} <3$ (equivalente a $5<x<10$) :

La siguiente ecuación puede ser escrita : $$ \sqrt{x-1}-2 + 3-\sqrt{x-1} =1 $$ equivalente a : $ 1=1 $

Las soluciones pertenece a $]5,10[$

• caso : $\sqrt{x-1} \geq3$ (equivalente a $x\geq10$) :

$\sqrt{x-1} = 3$ $x = 10$

Las soluciones pertenece a $[5,10]$

Answer 2

Poner $y=\sqrt{x-1}$, consiguiendo $x=y^2+1$; por lo tanto la ecuación se convierte en $$ \sqrt{y^2-4y+4}+\sqrt{y^2-6y+9}=1 $$ que debe sonar una campana.

Se vuelve $|y-2|+|y-3|=1$ que puede ser tratada sin recurrir a la cuadratura; dividirlo en casos de:
Si $y<2$, la ecuación se convierte en $2-y+3-y=1$ o $2y=4$, lo que significa $y=2$, absurdo.
Si $2\le y\le 3$, la ecuación se convierte en $y-2+3-y=1$, una identidad.
Si $y>3$, la ecuación se convierte en $y-2+y-3=1$ o$2y=6$$y=3$, absurdo. Por tanto, las soluciones son todos los números $x$ tal que $2\le\sqrt{x-1}\le3$ $4\le x-1\le 9$ o $5\le x\le 10$.

Answer 3

ps
Pon x-1 = t ^ 2
entonces la ecuación se convierte en$$\sqrt{(x+3)-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{(x+8)-6\sqrt{x-1}} =1$ $ para completar los cuadrados. EDITAR:
Mi respuesta fue incorrecta. Gracias a egreg y Samatix.