Prueba de que algún límite inverso está conectado

Question

Considere el límite inverso$$\varprojlim \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ $ con respecto al sistema$(\mathbb{R}/n\mathbb{Z})_{n \geq 1}$ de grupos aditivos junto con las proyecciones$\pi_{m,n} \colon \mathbb{R}/m\mathbb{Z} \to \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ siempre que$n \mid m$.

Equipamos cada$\mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ con la topología de cociente y$\varprojlim \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ con la topología inducida de$\prod_{n \geq 1} \mathbb{R}/n\mathbb{Z}.$

Mi pregunta: ¿cómo se puede probar que$\varprojlim \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ es un espacio topológico conectado?

Veo que cada$\mathbb{R}/n \mathbb{Z}$está conectado, por lo tanto, el producto$\prod_{n \geq 1} \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ está conectado. Pero no sé cómo proceder desde aquí.

Answer 1

La conexión puede ser demostrado de la siguiente manera. Por un continuum nos referimos a la conexión de un compacto Hausdorff espacio.

1. Cada intersección de una dirigida hacia abajo de la familia de continua es un continuo. Por simplicidad, imagino que sólo una secuencia continua de $X_0 ⊇ X_1 ⊇ \cdots$ y poner $X := ⋂_{n ∈ ω} X_n$. Claramente, $X$ es Hausdorff compacto. También está conectada. De lo contrario, $X = A ∪ B$ para algunos no vacío subconjuntos disjuntos $A$, $B$ que son clopen en $X$ y así cerró en $X_0$. Desde $A$ $B$ son compactos y $X_0$ es Hausdorff, existen abiertos disjuntos conjuntos de $U, V ⊆ X_0$ tal que $A ⊆ U$$B ⊆ V$. Tenemos que $(X_n)_n$ es una disminución de la secuencia de compacta tal que $⋂_n X_n ⊆ U ∪ V$. Por lo tanto, para algunas de las $n$ tenemos $X_n ⊆ U ∪ V$. Desde $X_n ∩ U ⊇ A ≠ ∅$ y de manera similar a $X_n ∩ V ≠ ∅$, $X_n$ está desconectado.
2. Todos los límites de la dirigida inversa sistema es homeomoprhic a la intersección de los subespacios de que el producto, y los subespacios puede ser tomado homeomórficos a los productos de algunos de los espacios originales. De nuevo, imaginar una secuencia como antes. Tenemos $\varprojlim (X_n, f_{n,m}) = \{x ∈ ∏_n X_n: x_n = f_{n,m}(x_m)$ por cada $n ≤ m\} = ⋂_k Y_k$ donde $Y_k= \{x ∈ ∏_n X_n: x_n = f_{n,m}(x_m)$ por cada $n ≤ m ≤ k\} \cong ∏_{n ≥ k} X_k$.

Mediante la combinación de los dos hechos se obtiene la conexión desde nuestros espacios son círculos. También tenga en cuenta que no necesitamos de un general de la prueba para los dirigidos sistemas ya que nuestro sistema tiene un cofinal larga.

Answer 2

Considere$C$ el subconjunto de$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ el conjunto de mapas$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ de manera que para cada$u\in C$,$u(n)= u(m)$ mod$n$ si$n$ divide$m$ dotado con la topología discreta, existe un mapa continuo$f:C\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ definido por$f(u,x)=(x+u(1),..,x+u(n),..)$ la imagen de la composición de$f$ con$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\rightarrow \Pi_n\mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ es$\varprojlim\mathbb{R}/n\mathbb{Z}$. Deducimos que$\varprojlim\mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ está conectado ya que$C\times \mathbb{R}$ está conectado.