Estados coherentes del oscilador armónico cuántico

Question

Coherente estados del oscilador armónico Cuántico .

El Hamiltoniano del oscilador armónico Cuántico es $H=(a^+ a+\frac{1}{2})\hbar \omega$,$a=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}(\hat{x}+\frac{i \hat{p}}{m \omega})$,$\hat{N}=a^+ a$

Coherente de los estados se definen como los autoestados de $a$,marcamos $$a|\lambda \rangle=\lambda|\lambda \rangle$$ En $N$-representación,podemos demostrar que $$|\lambda \rangle=\sum_n c_n |n\rangle ,c_n=\frac{\lambda ^n}{\sqrt{n!}}e^{-\frac{|\lambda|^2}{2}}$$

mi pregunta:

1. podemos dar el valor exacto de $\lambda$?

2. En la N-representación,la representación de la matriz de $a $ es \begin{equation} \left( \begin{matrix} 0&\sqrt{1}&0&0&0&\cdots\\ 0& 0&\sqrt{2}&0&0&\cdots \\ 0& 0&0&\sqrt{3}&0&\cdots \\ 0& 0&0&0&\sqrt{4}&\cdots \\ 0& 0&0&0&0&... \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{de la matriz} \right) \end{equation} Quiero calcular los autovalores de la misma. Pero todos los autovalores son $0$. Es la razón por la que en la dimensión finita?

Answer 1

Una buena manera de pensar de $\lambda$ es considerar el estado coherente como un desplazadas oscilador armónico del estado. Escrito $\lambda=\lambda_r+i\lambda_i$ $\lambda_{r,i}$ las partes real e imaginaria de $\lambda$ respectivamente, $$ \langle\lambda \vert \hat x\vert \lambda \rangle=\sqrt{\frac{2\manejadores}{m\omega}}\lambda_r\, ,\qquad \langle\lambda \vert \hat p\vert \lambda \rangle=\sqrt{ 2m\manejadores\omega}\lambda_i\, . $$ Claramente los posibles desplazamientos en el $(x,p)$ plano son ilimitadas así que no hay ninguna restricción sobre los posibles valores de $\lambda_r$$\lambda_i$.

Desde el oscilador armónico el estado del suelo es una forma Gaussiana, la densidad de probabilidad en $x$ se concentra no sobre el origen, pero sobre $\lambda_r$, y la probabilidad en $p$ se concentra sobre $\lambda_i$. Esto se hace evidente observando la función de Wigner de un estado coherente. Así, el truncamiento de la base de oscilador armónico estados $\{\vert n\rangle\}$ se hace generalmente sobre la base física después de que un valor de $n$ lo suficientemente grande como para capturar "la mayoría" de la densidad de probabilidad.

Tenga en cuenta que el estado coherente no es un eigenstate del oscilador armónico hamiltoniana por lo que la densidad de probabilidad será dependiente del tiempo.

Answer 2

1. Con el número de la base de los coeficientes de que tú (correctamente) las define, $|\lambda⟩$ es un eigenstate de $a$ para todos los valores complejos de $\lambda\in\mathbb C$. Esto puede sonar extraño, pero recuerde que el operador de aniquilación no es auto-adjunto y no es normal, por lo que las propiedades espectrales puede venir de una serie mucho más amplia de posibilidades que, digamos, un compacto de auto-adjunto del operador.

2. En el $N$ de representación, la aniquilación del operador toma la forma del infinito de la matriz de dar. Si trunca, obtendrá un interesante y relacionados con el objeto, pero no es el mismo objeto.

   En particular, el truncamiento a $N$ fotones o menos vueltas de la aniquilación en un solo bloque de Jordan con autovalor $\lambda=0$; esto significa, entonces, que ningún otro autovalores estará presente. Este comportamiento es perfectamente normal y no se debe enteramente a la base de truncamiento.

Enchufe descarado: mi tesis de licenciatura tiene una exploración más profunda de estos temas - si usted puede leer la física en español ;-).