Distribución condicional de$Z = (X-Y) / 3$, dado$Y = y$

Question

Estoy tratando de resolver este problema, pero sin mucho éxito. Aquí tenemos ese$X \sim \operatorname{Geo}(\theta)$, con$p(x) = \theta (1 - \theta)^x$, y$Y = X \mod 3$, teniendo así $ p (y) = \ theta \ frac {(1 - \ theta) ^ y} {1 - ( 1 - \ theta) ^ 3}$, with $ y = 0, 1, 2. $

Ahora tengo que encontrar la distribución condicional de$ Z = (X-Y)/3$, dado$Y = y.$. No he encontrado nada como esto aquí (lo siento si he duplicado una pregunta, intenté no hacerlo). ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Tal vez una solución basada en la comprensión de lo geométrico distribuciones de la media sería de más interés que el puramente algebraica.

Preliminares: la notación; distribuciones Geométricas

Recordemos que una distribución Geométrica con parámetro de $\theta$ describe las posibilidades de la observación de una secuencia de $x\in\{0,1,2,\ldots\}$ fracasos antes del primer éxito en una serie de Bernoulli independientes$(\theta)$ ensayos, cuyos valores escribiré $U_1,U_2, \ldots, U_n,\ldots,$ codificación (como de costumbre) $U_i=1$ a representar el éxito. Escrito $p_\theta(x)$ de esas cantidades, la independencia implica

$$p_\theta(x+1) = p_\theta(x)\Pr(U_{n+1}=1) = p_\theta(x)\theta.$$

Por el contrario, esta relación determina completamente la distribución de los hechos, que (1) todas las probabilidades deben sumar a la unidad y (2) el distinto de cero probabilidades son aquellos para los $x\in\{0,1,2,\ldots\}$.

Solución

Vamos a interpretar la $Y$ $Z$ del problema. Es un número obvio de la teoría de la hecho de que cualquier posible valor de $x$ $X$ puede ser escrita en la forma $$x=3z+y$$ where $y\, en\{0,1,2\}$ and $z\in\{0,1,2,\ldots\}.$ When we condition on $Y=Y$, we're saying there initially are $s$ failures and then there are $z$ grupos de tres fallos de cada uno antes de que el éxito es observado. La independencia de los ensayos de Bernoulli en cada grupo de tres implica una secuencia de tres fallos tiene una oportunidad

$$\rho = (1-\theta)^3.$$

En consecuencia, la independencia de cada uno (no se solapan) grupo de tres fracasos implica

$$\Pr(Z=z+1) = \Pr(Z=z) (1-\theta)^3= \Pr(Z=z) \rho$$

para cualquier $z=0,1,2,\ldots.$, con Lo que, condicional a $Y=y$, $Z$ tiene una distribución Geométrica con parámetro de $\rho$.

Entre las principales implicaciones de esta observación--que resolver inmediatamente el problema--

1. La distribución de $Z$ es independiente de $Y$.

2. La distribución de $Z$ es Geométrica con parámetro de $\rho=(1-\theta)^3.$

3. Usted puede escribir las probabilidades de inmediato el uso de las fórmulas usuales para la distribución geométrica, utilizando el parámetro de $\rho$.

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Para aquellos que prefieren pura álgebra, una divertida (y quizás sorprendente) el método de solución es proporcionada por la técnica de aniquilación de las descritas en https://stats.stackexchange.com/a/35138/919. Esto da directamente la distribución de $(Y,Z)$, a partir de la cual la distribución condicional de $Z$ se encuentra dividiendo por la posibilidad de que $Y=y$.