Demuestre que la serie$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}(\frac{1}{n^z} - \frac{1}{x^z})dx$ converge uniformemente en$\mathbb{C}_{\epsilon}$

Question

Yo estaba tomando mi Tel. D Análisis de examen de calificación y entonces me preguntó a probar el siguiente ejercicio.

Deje $\epsilon > 0$$\mathbb{C}_\epsilon := \{z \in \mathbb{C}, \Re(z) > \epsilon \}$.

(un) $$ F(z) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^z}$$ converges uniformly on $\mathbb{C}_{1 + \epsilon}$.

Puedo demostrar esta parte fácilmente utilizando el Weierestrass M-Prueba de delimitación de los términos de esta serie por una serie p con $p > 1$ y la convergencia uniforme de la siguiente manera.

(b) Probar que la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}(\frac{1}{n^z} - \frac{1}{x^z})dx$$ converges uniformly on $\mathbb{C}_{\epsilon}$

(c) Demostrar que existe una analítica de la función $G$ $\{z \in \mathbb{C}, \Re(z) > 0\}$ tal que $$G(z) = F(z) - \frac{1}{z-1}$$ for $\Re(z) > 1$

En la parte (b) intento de acotar los términos como en la parte (a), pero yo no era capaz de mostrar la convergencia uniforme en $\mathbb{C}_{\epsilon}$. Sin embargo, en mi intento me puede demostrar que no fue uniformemente convergente en $\mathbb{C}_{1+\epsilon}$, pero creo que debe ser un error.

Para la parte (c) no tengo idea de cómo se enfoque.

Answer 1

Respuesta parcial a b). Probaré convergencia uniforme en subconjuntos acotados de$\mathcal C_\epsilon$. Dudo si la convergencia es uniforme en el conjunto de$\mathcal C_\epsilon$. Dejar $f(x)=x^{-z}$. Entonces$|f(x)-f(n)| \leq |x-z| |z|n^{-\Re z-1}$$\leq |z| n^{-\Re z-1}$ para x entre n y$n+1$. Por lo tanto,$|\int _n ^{n+1} |f(x)-f(n)|dx \leq |z| n^{-\Re z-1}$ demuestra convergencia uniforme de la serie en b) para$|z|$ delimitado.

Answer 2

Prueba de c): dejar$H(z)= \sum _1 ^{\infty} \int _n ^{n+1} x^{-z} dx+\frac 1 {1-z}$. Como$\int _n ^{n+1} x^{-z} dx=\frac {(n+1)^{-z} -n^{-z}} {1-z}$, la N-ésima suma parcial se convierte en$\frac {(N+1)^{-z} -1} {1-z}$ que converge a$- \frac 1 {1-z}$. Se deduce que$H(z)=0$ en$\mathcal C_\epsilon$. Por b)$F(z)-H(z)- \frac 1 {1-z}$ es analítico en Re (z)> 1.